解 注意到 sinx?x，则有
tanx?xtanx?xsec2x?1tan2x1?lim?lim?lim?. lim2x?0xtanxx?0罗法x?0x?03x2x33x23【例26】证明：函数f(x)?x?2x?4在（?2,2）之间至少有两个零点. 证明 f(x)?x?2x?4在闭区间??2,2?上连续，
440\\0 f(?2?)?(?2)??2?2?4f16??0?, (0) f(2?)44402??2?2?4 ?80因此 f(?2)?f(0)?0,f(0)?f(2)?0，由闭区间上连续函数的零点定理知
??1?(?2,0),?2?(0,2)，使得f(?1)?f(?2)?0即f(x)在（?2,2）之间有两个零点.
考试大纲 第二章 导数与微分（15分）
编号 考点 导数的定义式； 导数的几何意义----切线方程，法线方程； 连续与可导的关系，判定（已知可导或连续，求参数）； 反函数的求导； 分值 考试形式 1 3 选择 2 3 填空 3 6 选择/计算 4 6 选择/填空/计算 5 复合函数的求导； 6 选择/填空/计算 6 参数方程的情形下求一阶、二阶导数； 6 计算 7 隐函数求导； 6 选择/填空/计算 8 对数求导法； 6 填空/计算 9 微分的计算； 6 填空/计算 9
10 复合函数微分； 6 填空/计算 11 微分在近似计算中的应用； 6 应用 下面复习一元函数微分学．微分学：differentialcalculus（意为差的计算） （一）导数的概念
1.函数在一点的导数与导函数的定义 f?(x0)?limf(x0??x)?f(x)f(x)?f(x)0?y0 ?lim?lim?x?0?x?x?0x?x0?xx?x0（导数是函数的差与自变量的差之比的极限，即差商的极限，平均变化率的极限即变化率）
由于函数在一点的导数是由极限定义的，函数在一点的极限有左右极限之分，同样函 数在一点的导数也有左、右导数之分．
f(x0?h)?f(x0)
h?0hf(x0?h)?f(x0) 右导数：f??(x0)?lim
h?0?h 左导数：f??(x0)?lim? 它们之间的关系是：f?(x0)?A?f??(x0)?f??(x0)?A 函数在区间内的导数是点点可导，是一个函数，称导函数： y??f?(x)?dyf(x??x)?f(x) ?limdx?x?0?xdydxx?x0 一个点的导数f?(x0)是导函数f?(x)在x0处的函数值，即f?(x0)? 2.导数的几何意义与物理意义
f?(x0)表示曲线y?f(x)在点(x0,y)处的切线的斜率． s?(t0)表示路线函数s?s(t)在时刻t0的瞬时速度． 3.函数连续与可导的关系：
．
函数y?f(x)在点x0可导，必连续，反之则不然．举反例：y?x在x?0处连
续，但不可导．因x?0为曲线尖点处无切线． 4.导数的四则运算法则(参见讲义)
5.导数的基本公式：16个，背会，熟记． (二)求导方法
1.复合函数的求导法—锁链法则：在搞清复合关系下，由外向内逐次对中间变量求 导，直至对自变量的求导为止，注意：要分步写，别漏层； 2.反函数的导数＝原函数导数的倒数；
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3.参数方程??x??(t),??t??，其中t为参变量或参数的一、二阶导数公式：
?y??(t)dyd2y???(t)??(t)???(t)???(t)dy??(t)dt?. ； ??32dx?dxdx?(t)???(t)?dt 4.隐函数求导法
由方程F(x,y)?0确定隐函数y?y(x)，求 （1）求导法：方程两边对x求导，解出
dy有二种方法： dxdy（一般是x,y的函数）； dxdy （2）利用一阶微分形式不变性：方程两边取微分，从中解出.
dx 5.取对数求导法 适于：（ⅰ）幂指函数f(x)（三）高阶导数 y(n)?(x)，（ⅱ）若干个幂的连乘、除.
dnyddn?1y?n?(n?1)，即一阶一阶导数求下去，并总结出一般规律. dxdxdx(n)k(n?k)(k)??Cnuv. k?0n Leibniz公式：(u?v)（四）微分
1.定义：函数y?f(x)的微分是函数改变量?y的线性主要部分，用微分
（differential）的第一个字母d表示：dy?A??x?f?(x)dx 2.可导与可微是等价关系：y?? 3.微分法则（参见讲义）
4.一阶微分形式的不变性：不管u是自变量还是中间变量，函数y?f(u)的微分 总可以表为 dy?f?(u)du的形式.
【例27】单项选择题：函数y?2?lnx在点（1，2）处的切线方程是（ ）. (A).y?x?1； (B).y?x?1； (C).y?dy，故导数也叫微商． dx11?1； (D).y??1. xx【例28】单项选择题：若f(x)在x?x0处可导，则有（ ）.
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f(x0?2h)?f(x0)?f?(x0)；
h?0hf(x0?h)?f(x0) (B).lim?f?(x0)；
h?0hf(x0)?f(x0?h) (C).lim?f?(x0)；
h?0hf(x0?h)?f(x0?h) (D).lim?f?(x0).
h?0h (A).lim?x?1?t2【例29】填空题：曲线?在t?2处的切线方程为 . 3?y?t【例30】y?ex过原点的切线方程为： .
?解 设切点的坐标为P0(x0,y0),过P0(x0,y0),的切线斜率为k?(e)xx0?e,由于点x?x0P0(x0,y0),在曲线上，故y0?ex0，从而过点P0(x0,y0)的切线方程为：
y?ex0?ex0(x?x0)
x0由于原点O(0,0)在切线上，故代入上式得：0?e?ex0(0?x0)?x0?1,y0?e，
即切点为P0(1,e)，于是所求切线方程为：y?e?e(x?1)，即y?ex.
xt???0tedt,x?0【例31】综合题：已知f(x)??，讨论f(x)在x?0点处的连续性与
2??x,x?0 可导性.
解 右极限 f(0?0)?lim?0x?0x?0?x0tetdt?0
x2?0， 又f(0)?0 左极限 f(0?0)?lim?0 故 f(x)在x?0处连续.
右导数 f??(0)?lim?0x?0f(x)?f(0)?limx?0?0x?0?x0tetdtx0\\0罗法则x?＝lim（xe)?0 ?0x?02f(x)?f(0)x?lim?0，又 f?(0)?0 左导数 f??(0)?lim?0x?0?0x?0x?0x 故 f(x)在x?0处可导.
(tanx) 【例32】单项选择题：设函数 f(x)?e，且 f?()?e，则k?（ ）.
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