随机变量的几种收敛及其相互关系

随机变量的几种收敛及其相互关系

引言：

概率论最早产生于17世纪，本来是保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。然而其公理体系只在20世纪的20至30年代才建立起来并得到迅速发展，在过去的半个世纪里概率论在越来越多的新兴领域显示了它的应用性和实用性。概率论是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理论和方法。特别值得一提的是，概率论是今天数理统计的基础，其结果被用做问卷调查的分析资料或者对经济前景进行预测。概率论中的重要概念——概率的收敛性，寻找概率收敛中的随机变量序列收敛性的相互性质以及收敛性之间的相互关系，弄清楚它们之间的关系在理论和应用上都是很有意义的。

1 几种收敛性定义

定义1.1 (r阶收敛)设对随机变量Xn,及X有E|Xn|r???,E|X|r???,其中

r?0为常数,如果

limEXn?X?0

n??rr则称{Xn}r阶收敛于X,并记为Xn???X.

EXn?X?0 当p?2是，lim，称{Xn,n?1}均方收敛到X。记为

n??2m.s.Xn???X.

例1.1 设{Xk,1?k?n}相互独立，且满足P(Xn?1)?P(Xn?0)?n?11(n?1)，X(?)?0。则E(Xn?0)2??0，故limEXn?0n??nn21，n?0，

m.s.即Xn???0.

定义1.2 (几乎处处收敛)如果

P(limXn?X)?1

n??a.s.则称{Xn}以概率1收敛于X,又称{Xn}必乎处处收敛于X,并记为Xn???X.

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随机变量的几种收敛及其相互关系

例1.2 设{Xn，n?1}，X,Y是定义在[0,1]上博雷尔概率空间(?,F,P)=

([0,1],F[0,1],P)上的随机变量，满足：???[0,1]，Y(?)?1。而X(?)?1，若

??B={[0,1]上理点}；X(?)?0，若??B={[0,1]上有理点全体}。而X(?)?1，

?1??1?若???,1?；X(?)n?0，若???0,n?。则易知P(?:X(?)?Y(?))?P(B)?0。

?2??2?(?:limXn(?)?Y(?))??；(?:limXn(?)?X(?))?B??，但B?1，故

n??n??a.s.Xn???X。

定义1.3 （依分布收敛）设随机变量Xn,X的分布函数分别为Fn(x)及F(x)。若对Fn(x)的每个连续点x有limFn(x)?F(x),则称{Xn}依分布函数收敛于X

n??LW（Fn(x)弱收敛到F(x)）。记为Xn???X，或者Fn(x)???F(x)。

例1.3 Zn，Yn的记号同林德伯格-莱维（Lindeberg-Levy）定理，令

LZ~N(0,12)，则Zn???Z，即?x?R，有limP(Zn?x)??(x)。

n??定义1.4 （依概率收敛）如果对于任意ε>0,

limP(|Xn?X|??)?0

n??P则称{Xn}依概率收敛于X，并记为Xn???X或plimXn?X.

n?? 例 1.4 设｛Yk,1?k?n｝独立同分布，且Y1~U[0,1]，令Xn??Yk/n，则

k?1n1P?(n??). 由大数定律可知Xn??22 依概率收敛与依分布收敛的关系

随机变量序列依概率收敛和依分布收敛是概率论中两种较重要的收敛形式,弄清楚它们之间的关系是本节要讨论的.本节约定所涉及定义1.3，定义1.4。

定理2.1 若随机变量序列{Xn}依概率收敛于某随机变量X,则{Xn}依分布收敛于X.但定理2.1的逆不成立。

证明 设x??x，则

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随机变量的几种收敛及其相互关系

{Xn?x?}={Xn?x,X?x?}?{Xn?x,X?x?}?{Xn?x}?{Xn?x,Xn?x?} 从而

F(x?)?Fn(x)?P(Xn?x,Xn?x?)

P设Xn???X，则

P(Xn?x,Xn?x?)?P(|Xn?X|?x?x?)?0

因而有

Fn(x?)?limFn(x)

n??同理可证，对x?x??，有

limFn(x)?Fn(x??)

n??所以对x??x?x??，有

Fn(x?)?limFn(x)?limFn(x)?Fn(x??)

n??n??如果x是F(x)的连续点，则令x?，x??趋于x，得

F(x)?limFn(x)

n??L即Xn???X.

反之不然，例如，若样本空间??{?1,?2}，P(?1)?P(?2)?1/2，定义随机变量X(?)如下：X(?1)??1,X(?2)?1，则X(?)的分布律为P(X(?)?k)?1/2，

Lk??1,1,如果对一切n，令Xn(?)??X(?)，则显然Xn(?)???X(?)。但是对于

任意的0???2，P(|Xn(?)?X(?)|??)?P(?)?1 所以{Xn(?)}不依概率收敛于X(?)。

PL但是在特殊场合有下面结果：对于常数C，则Xn?? ?C与Xn???C等价。L事实上，若Xn???C，则???0，

P(|Xn?C|??)?P(Xn?C??)?P(Xn?C??) ?1?Fn(C???0?)FnC(?? ) 6

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?1?1?0? 0PPL从而Xn???C。反之，若Xn???C，则由定理2.1得Xn???C。

例2.1 设X,X1,X2,?为独立同分布的随机变量,公共的分布列为

P(X?0)?P(X?1)?1显然/2:Xn(n=1,2,?)与X的分布函数相同,故{Xn}依分

布收敛X.

但对于任意0

P(Xn?X?E)?P(Xn?1,X?0)?P(Xn?0,X?1)?P(Xn?1)P(X?0)?P(Xn?0,X?1)

?1/2?1/2?1/2?1/2?1/2?R.

可见{Xn}不依概率收敛于X.

同此可知,一般说来,并不能从随机变量序列依分布收敛肯定其依概率收敛,但在特殊情形下,它却是成立的,那就是下述定理.

定理 2.2 随机变量序列{Xn}依概率收敛于X≡C(C为常数)的充要条件是{Xn}依分布收敛于X≡C.

那么,在一般情形,能不能适当地增加条件,使随机变量序列依分布收敛能保证其依概率收敛呢?考察一下上述反例知,当极限分布函数不连续时无法保证,但如果极限分布函数连续呢?回答是肯定的,这就是本文的主要结果.

定理2.3 设分布函数列{Fn(x)}弱收敛于连续的分布函数F(x),则存在随机变量序列{Xn}和随机变量X,它们分别以{Fn(x)}和F(x)为其对应的分布函数列和分布函数,且{Xn}依概率收敛于X.

定理的证明需用到下述引理.

取??[0,1),再取F为[0,1)中Borel点集全体,而P取直线上的Lebesgue测度,则(?,F,P)构成一概率空间.

引理2.1 在(?,F,P)上定义,

X(?)=?, ???0,

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