小题满分练2
1．(2017·苏州暑假测试)设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＋x≤0}，则M∩N＝________. 答案 {－1,0}
解析 因为N＝{x|x＋x≤0}＝[－1,0]，又M＝{－1,0,1}，所以M∩N＝{－1,0}． 2．(2017·南京学情调研)设复数z满足(z＋i)i＝－3＋4i(i为虚数单位)，则z的模为________． 答案 25
|－2＋4i|
解析 因为(z＋i)i＝－3＋4i，所以zi＝－2＋4i，所以|z|＝＝4＋16＝25.
|i|3．已知命题p：“m＝1”，命题q：“直线mx－y＝0与直线x＋my＝0互相垂直”，则命题p是命题q的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
答案 充分不必要
4．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x的值为________．
2
2
2
答案 0.018
解析 依题意，0.054×10＋10x＋0.01×10＋0.006×10×3＝1，解得x＝0.018. 5．(2017·南京学情调研)某单位要在4名员工(含甲、乙两人)中随机选2名到某地出差，则甲、乙两人中至少有一人被选中的概率是________． 5答案
6
解析 从4名员工中随机选2名的所有基本事件共有6个，而甲、乙都未被选中的事件只有151个，所以甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率为1－＝. 66
6．(2017·苏州暑假测试)如图是一个输出一列数的算法流程图，则这列数的第三项是________．
1
答案 30
解析 第一次输出a＝3，n＝2；第二次输出a＝3×2＝6，n＝3；第三次输出a＝6×5＝30，
n＝4.故这列数的第三项为30.
7．(2017·重庆调研)设向量a，b的夹角为θ，已知向量a＝(x，3)，b＝(x，－3)，若(2a＋b)⊥b，则θ＝________. 答案
2π 3
解析 由题意得(2a＋b)·b＝0， 所以(3x，3)·(x，－3)＝0， 即x＝±1，
a·bx2－3
所以cosθ＝＝2
|a||b|x＋3x2＋3
1－31
＝＝－， 1＋32
2π因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 3
8．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)(an＋1)，记Sn为{an}的前n项和，则S2017＝________.
n答案 －1007
解析 ∵an＋1＝(－1)(an＋1)，
n∴a2n＋2＝－(a2n＋1＋1)，a2n＋1＝a2n＋1，
a2n＝－(a2n－1＋1)，
∴a2n＋1＋a2n－1＝0，a2n＋2＋a2n＝－2，
∴S2 017＝a1＋(a3＋a5)＋…＋(a2 015＋a2 017)＋(a2＋a4)＋…＋(a2 014＋a2 016)＝1＋0－2×504＝－1 007.
9．(2017·南京学情调研)已知圆柱M的底面半径为2，高为6，圆锥N的底面直径和母线长相等．若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的高为________． 答案 6
解析 设圆锥N的底面半径为r，则它的母线长为2r，高为3r，由圆柱M与圆锥N的体积
2
12
相同，得4π×6＝πr×3r，解得r＝23，因此圆锥N的高h＝3r＝6.
3
10．(2017·镇江期末)圆心在直线y＝－4x上，且与直线x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的标准方程为____________． 答案 (x－1)＋(y＋4)＝8
|a－4a－1|22
解析 方法一 设圆心为(a，－4a)，则有r＝＝?a－3?＋?－4a＋2?，解得a2＝1，r＝22，则圆的方程为(x－1)＋(y＋4)＝8.
方法二 过点P(3，－2)且垂直于直线x＋y－1＝0的直线方程为x－y－5＝0，联立方程组
??x－y－5＝0，?
?y＝－4x，?
2
2
2
2
??x＝1，解得?
?y＝－4，?
2
则圆心坐标为(1，－4)，半径为r＝?1－3?＋?－4＋2?＝22，故圆的
2
22
方程为(x－1)＋(y＋4)＝8.
11．(2017·苏州期末)已知正数x，y满足x＋y＝1，则9答案
4
411?41?1
解析 方法一 令x＋2＝a，y＋1＝b，则a＋b＝4(a＞2，b＞1)，＋＝(a＋b)?＋?＝
ab4?ab?4
41＋的最小值为________． x＋2y＋1
?5＋4b＋a?≥1·(5＋4)＝9，当且仅当a＝8，b＝4，即x＝2，y＝1时取等号． ?ab?43333??4
方法二 (常数代换)设a＝x＋2，b＝y＋1，则9
，当且仅当a＝2b时取等号． 4
12．(2017·山西临汾五校联考)若tanα－________. 答案
2 10
π?13?ππ??＝，α∈?，?，则sin?2α＋?＝4?tanα2?42??4141a＋ba＋b5ba＋＝＋＝＋＝＋＋≥x＋2y＋1aba4b4a4b13?ππ?解析 ∵tan α－＝，α∈?，?，
tan α2?42?sin αcos α3
∴－＝， cos αsin α2cos 2α3∴＝－， sin 2α4
3
ππ∵＜α＜， 42π
∴＜2α＜π， 2
34
故cos 2α＝－，sin 2α＝，
55
π?222?∴sin?2α＋?＝sin 2α×＋cos 2α×＝. 4?2210?
13．不等式logax－lnx＜4(a＞0且a≠1)对任意x∈(1,100)恒成立，则实数a的取值范围为________．
答案 (0,1)∪(e，＋∞)
lnx1422
解析 不等式logax－lnx＜4可化为－lnx＜4，即＜＋lnx对任意x∈(1,100)恒
lnalnalnx4
成立．因为x∈(1,100)，所以lnx∈(0,2ln10)，则＋lnx≥4，当且仅当lnx＝2时取等
lnx11
号，故＜4，解得lna＜0或lna＞，即0＜a＜1或a＞e4.
lna4
?12x－x，x≤0，?
14．(2017·南京学情调研)已知函数f(x)＝?
??－2x，x＞0.
3
2
141
当x∈(－∞，m]时，f(x)
的取值范围为[－16，＋∞)，则实数m的取值范围是________． 答案 [－2,8]
解析 当x≤0时，f(x)＝12x－x，所以f′(x)＝12－3x.令f′(x)＝0，则x＝－2(正值舍去)，所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减；当x∈(－2,0]时，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增，故函数f(x)在x≤0时的极小值为f(－2)＝－16.当x＞0时，
3
2
f(x)＝－2x单调递减，f(0)＝0，f(8)＝－16，因此，根据f(x)的图象可得m∈[－2,8]．
4
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