第二章平面向量导学案

高中数学 必修4 第二章平面向量 学案 班级_______________姓名___________________ §2.1.1向量的概念 学习目标 了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示。理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量，相反向量的概念。

重点难点 向量的有关概念的理解，向量的正确表示方法。

复习回顾 问题1、位移和距离两个量有什么不同？

问题2、举例说明只有大小的量______________________________；

既有大小又有方向的量______________________________。 问题探究 1、向量的概念（两要素）___________________ 2、如何表示向量？

3、__________________向量的模， _________________叫零向量，______________________叫单位向量。 4

、

_________________________________________

平

行

向

量

_________________________________________共线向量

_________________________________________

相

等

向

量

_________________________________________相反向量。

5、平面直角坐标系内，起点在坐标原点的单位向量，它们的终点的轨迹是__________。

典型例题 例1、如图，已知O为正六边形

ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中： （1）试找出与FE共线的向量； A B （2）确定与FE相等的向量； （3）OA与BC相等吗？

D C E

例2、如图，四边形ABCD与ABEC都是平行四边形。

（1）用有向线段表示与向量AB相等的向量；

（2）用有向线段表示与向量AB共线的向量。

作业布置 P80 练习B 2,3题. 自主作业:同步练习题单.

例3、在如图中的4?5的方格纸中有一个向量AB，分别以图中的格点为起点

和终点作向量，其中与AB相等的向量有多少个？与AB长度相等的共线向量

有多少个（AB除外）？

§2.1.2向量的加法

学习目标 理解向量加法的含义，B 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和，掌握加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量的运算。 重点难点 向量加法的三角形法则和平行四边形法则。向量加法的交换律和结合律。

A

问题探究 巩固练习 问题1、利用向量的表示，从景点O到景点

A的位移为OA，从景点A到景点

1、在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，B的位移为AB，那么经过这两次位移后游艇的合位移是OB（如图）

_______________________________________

是

数

量,_________________________________________是向量. 这里，向量OA，

AB，OB三者之间有什么关系？

2、在下列结论中，正确的是______________________________ 1、向量加法的定义________________________________________________-（1）若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；

________ （2）模相等的两个平行向量是相等的向量； 2

、

向

量

加

法

的

三

角

形

法

则

（3）若a和b都是单位向量，则a?b；

（4）两个相等向量的模相等。

___________________________________________________ 3、设O是正△

ABC的中心，则向量

AO，BO，CO是（ ）

具体步骤：

（1）把两个向量平移后，使两个向量的一个起点与另一个起点相连。 A、相等向量 B、模相等的向量 C、共线向量 D、共起点的向量 （2）将剩下的起点与终点相连，并指向终点，则该向量为两个向量的和。 4、写出图中所示各向量的长度（小正方形的边长为1）

简记为“首尾相连，首是首，尾是尾”

E D B E 3、向量加法的平行四边形法则?_______________________________________ 4、对于零向量和任一向量a有 F O C

D a??0???0?a??a?，对于相反向量有a????a?????a???a???0

A F 5、向量加法的运算律 A C 课堂小结B 交

换

律

____________________________

结

合

律

______________________________

1、向量的概念及向量与有向线段的联系与区别。 6、如果平面内有n个向量依次首尾连接组成一条封闭折线，那么这n个向量的2、向量的表示方法。

和是什么？

3、平行向量，共线向量，相反向量，相等向量的概念。

1

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典型例题 例1、作出下列向量的和：

a?

a? a?

b? b?

b? (1) (2) (3)

例2、如图，O为正六边形

ABCDEF的中心，作出下列向量： （1）OA?OC （2）BC?FE （3）OA?FE

例3、在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为

25km/h。渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？

巩固练习 1

、

化

简

AB?DF?CD?BC?FA?________________________________。

2、已知点O是平行四边形ABCD对角线的交点，则下面结论中正确的是

（ ）

A、AB?CB?AC

B、AB?AD?AC

C、

AD?CD?BD

D

、

AO?CO?OB?OD??0

3、在△ABC中，求证；AB?BC?AC??0

4、一质点从点

A出发，先向北偏东30?方向运动了4cm，到达点B，再从点

B向正西方向运动了3cm到达点C，又从点C向西南方向运动了4cm到

达点D，试画出向量

AB,BC,CD以及AB?BC?CD。

课堂小结 1、向量加法的定义。

2、向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 3、向量加法的运算律。

作业布置 P83 练习A 2题. 练习B 2题 自主作业:同步练习题单.

2

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§2.1.3

向量的减法

学习目标 理解向量减法的含义；能用三角形法则和平行四边形法则求出两向量的差；体会类比方法和转化思想

重点难点向量减法的含义；求两向量的差 复习回顾

问题探究 1．相反向量

(1)定义：如果两个向量长度________，而方向________，那么称这两个向量是相反向量．

(2)性质：①对于相反向量有a＋(－a)＝______.②若a，b互为相反向量，则a＝________，a＋b＝______. ③零向量的相反向量仍是__________． 2．向量的减法

(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的____________． (2)作法：在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→

＝b，则向量a－b＝________.如图所示．

(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为________，被减向量的终点为________的向量．例如：OA→－OB→

＝________. 自主探究

我们已经知道向量不等式：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，若以向量－b去替换向量b就会得到向量不等式：________________.

当向量a、b共线同向且|a|≥|b|时，有________________；当向量a，b共线反向时，有________________；当向量a，b不共线时，总有______________．

典型例题 知识点一 作两向量的差向量

例1 任意画一对向量a，b，求作它们的差．

变式训练1 如图所示，在正五边形ABCDE中，A→B＝m，B→C＝n，C→

D＝p，D→E＝q，E→

A＝r，求作向量m－p＋n－q－r.

知识点二 向量减法的简单运算 例2 化简：(AB→－CD→)－(AC→－BD→

)．

变式训练2 化简：(1)(BA→－BC→)－(ED→－EC→

)； (2)(AC→＋BO→＋OA→)－(DC→－DO→－OB→)．

知识点三 向量减法的几何意义及应用

例3 在平行四边形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，先用a，b表示向量AC→和DB→

，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？

3

变式训练3 如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，AB→＝a，BC→＝b，AC→

＝c，试作出下列向量并分别求出其长度

(1)a＋b＋c； (2)a－b＋c.

课堂小结 1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－→AB＝→

BA就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．

2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．

3．以向量→AB＝a、→AD＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为→

AC＝

a＋b，BD→＝b－a，DB→

＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记

忆.

作业布置 P83 练习A 3题. 练习B 2题 自主作业:同步练习题单.

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§2.1.4

数乘向量

学习目标 理解向量数乘的含义，掌握向量数乘的运算律，理解数乘的运算律与实数乘法的运算律的区别与联系

重点难点向量数乘的含义的理解及运算律的应用 复习回顾

问题探究 1．向量的数乘

(1)定义：一般地，实数λ与向量a的乘积是一个________，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.

(2)规定：|λa|＝|λ||a|.当λ>0时，λa的方向与a的方向________；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝______.

(3)几何意义：λa可以看作是把向量a沿着a的方向(λ>0时)或a的反方向(λ<0时)扩大或缩小|λ|倍得到． 2．向量数乘的运算律

向量的数乘运算满足下列运算律： 设λ，μ为实数，则

(1)(λ＋μ)a＝__________；(2)λ(μa)＝(______)a； (3)λ(a＋b)＝__________(分配律)．

特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝__________. 3．向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝____________. 自主探究

用向量法证明三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．

典型例题 知识点一 数乘向量的概念

例1 已知a，b是两个非零向量，判断下列各命题的对错，并说明理由． (1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍； (2)－2a的方向与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的25；

(3)－2a与2a是一对相反向量；

(4)a－b与－( b－a)是一对相反向量； (5)若a，b不共线，则λa与b不共线．

变式训练1 下面给出四个命题：

①对于实数m和向量a、b，恒有m(a－b)＝ma－mb； ②对于实数m、n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na； ③若ma＝mb(m∈R)，则有a＝b； ④若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，则m＝n. 其中正确命题的个数是( ) A．1

B．2

C．3

D．4

知识点二 向量的线性运算 例2 计算：

(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)； (2)1

72??a＋2b－2

a－b?－

6?1

?2

a＋37??b＋73

?

6a????；

(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．

变式训练2 计算：

(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)； (2)11

3??2

a＋8b－a－2b??

； (3)(m＋n)(a－b)－(m＋n)(a＋b)．

4

知识点三 数乘向量在平面几何中的应用

例3 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足→

OP＝→OA＋λ

?→→?ABAC

?→＋→?，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )

?|AB||AC|?

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

变式训练3 已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则→

AP等于( )

A．λ(AB→＋→BC)，λ∈(0,1) B．λ(AB→＋→AD)，λ∈?2?0，2??

C．λ(AB→－→AD)，λ∈(0,1) D．λ(AB→－→BC)，λ∈?2?0，2??

课堂小结 1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．

2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a|

表示与向量a同向的单位向量.

作业布置 P89 练习A 2、3题. 练习B 3题 自主作业:同步练习题单.