2020高考数学(文数)考点测试刷题本24 正弦定理和余弦定理(含答案解析)

答案解析

1.答案为：C；

解析：

a＋b－c

由正弦定理得a＋b

2ab

2

2

2

2

2

2

2.答案为：A；

解析：

3443BCAC

因为cosA=，cosB=，所以sinA=，sinB=，则由正弦定理得=，

5555sinAsinBBC·sinB222

所以AC==3，则由余弦定理得AC=AB＋BC－2AB·BCcosB，

sinA

4222

即3=AB＋4－8×AB，解得AB=5，所以△ABC是以AC，BC为直角边的直角三角形，

51

所以其面积为×3×4=6，故选A．

2

3.答案为：A；

解析：

b＋c－a11

不妨设a=6，b=4，c=3，由余弦定理可得cosA==－，

2bc24

11

12×－

24sin2A2sinAcosA2acosA11

则====－，故选A． sinB＋sinCsinB＋sinCb＋c4＋314

2

2

2

4.答案为：C；

解析：

根据正弦定理，“sinA

5.答案为：A；

解析：

5232C

因为cosC=2cos－1=2×－1=－，

255

3222

所以AB=BC＋AC－2BC×ACcosC=1＋25－2×1×5×－=32，∴AB=42．故选A．

5

6.答案为：C；

解析：

1a＋b－c222

由题可知S△ABC=absinC=，所以a＋b－c=2absinC．

24

由余弦定理得a＋b－c=2abcosC，所以sinC=cosC．∵C∈(0，π)，∴C=

2

2

22

2

2

π

，故选C． 4

7.答案为：C；

解析：

由正弦定理得3sinBcosC=sinC－3sinCcosB，3sin(B＋C)=sinC， 因为A＋B＋C=π，所以B＋C=π－A，所以3sinA=sinC， 所以sinC∶sinA=3∶1，故选C．

8.答案为：C；

解析：

由余弦定理，知a＋c－b=2accosB，所以由(a＋c－b)tanB=3ac 可得2accosB·

sinB3π2π

=3ac，所以sinB=，所以B=或，故选C． cosB233

2

2

2

2

2

2

一、填空题

9.答案为：3；

解析：

12222222

根据余弦定理，有a＋b－2abcosC=c，即16b＋b－8b×=13，所以b=1，解得b=1，

2113

所以a=4，所以S△ABC=absinC=×4×1×=3．

222

10.答案为：

23

； 3

解析：

1

根据题意，结合正弦定理可得sinBsinC＋sinC·sinB=4sinAsinBsinC，即sinA=，

2结合余弦定理可得2bccosA=8，所以A为锐角，且cosA=1183123

所以△ABC的面积为S=bcsinA=××=．

22323

383，从而求得bc=， 23

11.答案为：

解析：

abb212222

由=得sinB=sinA=，由a=b＋c－2bccosA，得c－2c－3=0，解得c=3． sinAsinBa7

21

，3； 7

12.答案为：8；

解析：

babaaa=，再由正弦定理=，所以=， sinB3cosAsinBsinAsinA3cosA

π

即tanA=3，又A为△ABC的内角，所以A=．

3由asinB=3bcosA得113

由△ABC的面积为S=bcsinA=bc×=43，得bc=16．

222

再由余弦定理a2=b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2

=32， 所以b＋c=?b＋c?2

=b2

＋c2

＋2bc=32＋2×16=8．

二、解答题

13.解：

(1)由已知及正弦定理得，

2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)=sinC， 2cosCsin(A＋B)=sinC．

故2sinCcosC=sinC．因sinC≠0，

可得cosC=12，因为C∈(0，π)，所以C=π

3

．

(2)由已知，得133

2absinC=2

．

又C=π

3

，所以ab=6．

由已知及余弦定理，得a2＋b2

－2abcosC=7．

故a2＋b2=13，从而(a＋b)2

=25，a＋b=5． 所以△ABC的周长为5＋7．

14.解：

2

(1)由题设得1a1a

2acsinB=3sinA，即2csinB=3sinA．

由正弦定理得12sinCsinB=sinA

3sinA．

故sinBsinC=2

3

．

(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC=－1

2

，

即cos(B＋C)=－12，所以B＋C=2π3，故A=π

3

．

由题设得12

2bcsinA=a

3sinA

，即bc=8．

由余弦定理得b2＋c2

－bc=9， 即(b＋c)2

－3bc=9，得b＋c=33． 故△ABC的周长为3＋33．

15.解：

(1) 因为m·n=cosAcosB－sinAsinB=cos(A＋B)=－cosC， 所以－cosC=cos2C，即2cos2

C＋cosC－1=0 故cosC=1

2或cosC=－1(舍)．

又0

3

. (2) 因为→CA·→

CB=18，所以CA×CB=36. ①

由余弦定理AB2

=AC2

＋BC2

－2AC·BC·cos60°，及AB=6得，AC＋BC=12. ②

由①②解得AC=6，BC=6.

16.解：

22222

(1)因为a=c(a－c)＋b，所以a＋c－b=ac，

222a＋c－b1

所以cosB==．

2ac2

π

又因为0

3

(2)由正弦定理得

acb===sinAsinCsinB

3

=2， πsin

3

所以a=2sinA，c=2sinC． 所以m=2a－c=4sinA－2sinC

2π

=4sinA－2sin－A

3=4sinA－2×

31

cosA＋sinA 22

=3sinA－3cosA 31

sinA－cosA 22

π

=23sinA－．

6=23×

因为A，C都为锐角，则0

π2ππππ，且0

πππ3

<，所以0