中考数学专题复习反比例函数的综合题及详细答案

中考数学专题复习反比例函数的综合题及详细答案

一、反比例函数

1．如图，直线y=﹣x+b与反比例函数y= 的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交

反比例函数图象于点C，连接OB． （1）求k和b的值；

（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围；

（3）在y轴上是否存在一点P，使S△PAC= S△AOB？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由．

【答案】（1）解：将A（1，4）分别代入y=﹣x+b和 b=5，k=4

得：4=﹣1+b，4= ，解得：

（2）解：一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为：x＞4或0＜x＜1 （3）解：过A作AN⊥x轴，过B作BM⊥x轴， 由（1）知，b=5，k=4， ∴直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为：

，解得：x=4，或x=1，

由

∴B（4，1）， ∴ ∵ ∴

，

，

，

过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P（0，t）， ∴S△PAC=

OP（CD+AE）=|t|=3，

OP?CD+ OP?AE=

解得：t=3，t=﹣3，

∴P（0，3）或P（0，﹣3）．

【解析】【分析】（1）由待定系数法即可得到结论；（2）根据图象中的信息即可得到结论；（3）过A作AM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，由（1）知，b=5，k=4，得到直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为： 1），于是得到 件得到

列方程

，求得B（4，

，由已知条

，过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P（0，t），根据

三角形的面积公式列方程即可得到结论．

2．如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q （x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”．

（1）判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”，并说明理由； （2）若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围；

（3）若函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值． 【答案】（1）解：是“相邻函数”，

理由如下：y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1， ∵y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，

∴当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1， ∴﹣1≤y1﹣y2≤1，

即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”

（2）解：y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a， ∵y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1）， ∴顶点坐标为：（1，a﹣1）， 又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，

∴当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a， ∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”， ∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即 ∴0≤a≤1

，

（3）解：y1﹣y2= ﹣（﹣2x+4）= +2x﹣4，构造函数y= +2x﹣4， ∵y= +2x﹣4

∴当x=1时，函数有最小值a﹣2， 当x=2时，函数有最大值 ，即a﹣2≤y≤ ， ∵函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，

∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即 ∴1≤a≤2；

∴a的最大值是2，a的最小值1

，

【解析】【分析】（1）y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，因为y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，所以当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”；（2）y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，因为y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），所以顶点坐标为：（1，a﹣1），又抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，所以当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，因为函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即0≤a≤1；（3）当x=1时，函数有最小值a﹣2，当x=2时，函数有最大值 ，因为函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，﹣1≤y1﹣y2≤1，即1≤a≤2，所以a的最大值是2，a

的最小值1.

3．给出如下规定：两个图形G1和G2 ， 点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．

（1）点A的坐标为A（1，0），则点B（2，3）和射线OA之间的距离为________，点C（﹣2，3）和射线OA之间的距离为________； （2）如果直线y=x+1和双曲线y= 之间的距离为 进行研究）

（3）点E的坐标为（1，

），将射线OE绕原点O顺时针旋转120°，得到射线OF，在

坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M． ①请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）．

②将射线OE，OF组成的图形记为图形W，直线y=﹣2x﹣4与图形M的公共部分记为图形N，请求出图形W和图形N之间的距离． 【答案】（1）3；（2）﹣4

（3）解：①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF垂直），

，那么k=________；（可在图1中

；

②由①知OH所在直线解析式为y=﹣

x，OG所在直线解析式为y=

x，

由 得 ，即点M（﹣ ，

），

由 则﹣

得： ≤x≤﹣

，

，即点N（﹣ ，

），

图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，﹣2x﹣4）， 即图形W与图形N之间的距离为d， d= =

=

， ．

=

∴当x=﹣ 时，d的最小值为 即图形W和图形N之间的距离

【解析】【解答】解：（1）点（2，3）和射线OA之间的距离为3，点（﹣2，3）和射线OA之间的距离为 故答案分别为：3，

；

，

=

，

（2）直线y=x+1和双曲线y= k x 之间的距离为