综上，当甲出发3分钟或故答案为3或
11 分钟时，两人相距10米． 311 3【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
30.如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC， （1）求∠APO+∠DCO的度数； （2）求证：AC=AO+AP.
【答案】（1）30°；（2）见解析． 【解析】 【分析】
（1）利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；
(2) 在AC上截取AE=PA，先证明△OPA≌△CPE，则AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP． 【详解】解：（1）如图1，连接OB，
∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD，∠BAD=12
∠BAC=×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30° ∵OP=OC， ∴OB=OC=OP，
则∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°； 故答案为30°；
(2)如图2，在AC上截取AE=PA
，
-∠BAC=60°∵∠PAE=180°， ∴△APE是等边三角形， ∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA， ∴∠APO+∠OPE=60°， ∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°， ∴∠APO=∠CPE， ∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，
?PA?PE???APO??CPE ?OP?CP?∴△OPA≌△CPE（SAS）， ∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 31.阅读材料，解决问题
材料一：《孟子》中记载有一尺之棰，日取其半，万世不竭，其中蕴含了“有限”与“无限”的关系.如果我们要计算到第n天时，累积取走了多长的木棒？可以用下面两种方法去解决： 方法一：第n天，留下了()尺木棒，那么累积取走了(1?12n1)尺木棒. 2n方法二：第1天取走了
1n112()(2……n尺木棒，第天取走了尺木棒，第天取走了)尺木棒，那么累积取
2221111????)尺木棒.
222232n1111设：S??2?3???n……①
2222111111由①×得：S?2?3?4???n?1……②
2222221111①－②得：S??n?1 则：S?1?n
2222走了：(?材料二：关于数学家高斯的故事，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1+2+3+…+100=？据说当其他同学忙于把100个数逐项相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确的答案：（1+100）+50=5050. （2+99）+…+（50+51）=101×
也可以这样理解：令S=1+2+3+4+…+100 ①，则S=100+99+98+…+3+2+1② ①+②得：2S=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）=100×（1+100） 即S?100?(1?100)?5050
2请用你学到的方法解决以下问题： （1）计算：1?3?32?33?34?…+3n；
（2）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层的2倍，问塔的顶层共有多少盏灯？
（3）某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，某一周，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知一列数1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，……其中第1项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，以此类推，求满足如下条件的正整数N：10?N?100，且这一列数前N项和为2的正整数幂，请求出所有满足条件的软件激活码正整数N的值.
3n?1?1【答案】（1）S?；（2）塔的顶层共有3盏灯；（3）18或95
2【解析】 【分析】
（1）根据材料的方法可设S=1+3+9+27+…+3n．则3S=3（1+3+9+27+…+3n），利用S?1(3S?S)即可解答． 2（2）设塔的顶层由x盏灯，根据一座7层塔共挂了381盏灯，可列方程．根据材料的结论即可解答． （3）由题意求得数列的分n+1组，及前n组和S=2n+1-2-n，及项数为数幂．只需最后一组将-2-n消去即可，求出n值即可求得N的值
n(n?1)，由题意可知：2n+1为2的整2【详解】解：（1）设S=1+3+9+27+…+3n，则3S=3（1+3+9+27+…+3n）=3+9+27+…+3n+3n+1， ∴3S-S=（3+9+27+…+3n+3n+1）-（1+3+9+27+…+3n）， ∴2S=3n+1-1，
3n?1?1 ?S?2（2）设塔的顶层由x盏灯，依题意得： x+21x+22x+23x+24x+25x+26x=381 解得：x=3，
答：塔的顶层共有3盏灯．
（3）由题意这列数分n+1组：前n组含有的项数分别为：1，2，3，…，n，最后一组x项，根据材料可知每组和公式，求得前n组每组的和分别为：21-1，22-1，23-1，…，2n-1， 总前n组共有项数为N=1+2+3+…+n=
n(n?1) 2前n所有项数的和为Sn=21-1+22-1+23-1+…+2n-1=（21+22+23+…+2n）-n=2n+1-2-n， 由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需最后一组x项将-2-n消去即可，
1?(1?1)?2?3，不满足10＜N＜100， 25?(5?1)?3?18，满足10＜N＜100， ②1+2+4+（-2-n）=0，解得：n=5，总项数为N?213?(13?1)?4?95，满足10＜N＜100， ③1+2+4+8+（-2-n）=0，解得：n=13，总项数为N?229?(29?1)?5?440，不满足10＜N＜100， ④1+2+4+8+16+（-2-n）=0，解得：n=29，总项数为N?2则①1+2+（-2-n）=0，解得：n=1，总项数为N?∴所有满足条件的软件激活码正整数N的值为：18或95．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解等比数列的求和方法是解题的关键．
相关推荐：
loading