n第十三章 动能定理

第十三章 动能定理

13-1 圆盘的半径r=0.5m，可绕水平轴O转动。在绕过圆盘的绳上吊有两物块A，B，质量分别为mA=3 kg，mB=2 kg。绳与盘之间无相对滑动。在圆盘上作用一力偶，力偶矩按

。求??0到??2?时，力偶M与M?4?的规律变化（M以N·m计，?以rad计）

物块A，B的重力所做的功之总和。

W?WM?WA?WB2? ? ?O?4??d??(m0A?mB)g2?r

M ?109.7J A B 图13-1

13-2 图示坦克的履带质量为m，两个车轮的质量均为m1，车轮视为均质盘，半径为Ｒ，两车轮轴间距离为?R．设坦克前进速度为v，计算此质点系的动能。

D C

?R v

B A

图13-2

解：

1. 先研究车轮，车轮作平面运动，角速度

??v；两车轮的动能为 R11?1?3T1?2??m1v2??m1R2?2??m1v2

22?2?22. 再研究坦克履带，AB部分动能为零，

CD部分为平动，其速度为2v ；圆弧 AD与BC部分和起来可视为一平面

运动圆环，环心速度为v ，角速度为??则履带的动能为 T2?v ， R1m2?2v?2?1m2v2?1m2R2?2?m2v2 2422221?3m1?2m2?v2 23. 此质点系的动能为 T?T1?T2?13-3题

解：P为B运动的瞬心，以B为动点，动系与平板A固结 ???则：va?ve?vr

且：vr?r?,ve?v,va?vB 故：vB?ve?vr?v?r? 则该系统的动能为：

?rBP?ve?vr?vT?1211mvB?JB?2?Mv2222

111 ?m(v?r?)2?mr2?2?Mv224213-4均质连杆AB质量为4kg，长l=600mm。均质圆盘质量为6kg，半径r=100mm。弹

簧刚度为k=2 N/mm，不计套筒A及弹簧的质量。如连杆在图示位置被无初速释放后，A端沿光滑杆滑下，圆盘做纯滚动。求：（1）当AB达水平位置而接触弹簧时，圆盘与连杆的角速度；（2）弹簧的最大压缩量δ。

A

30? B

图13-3

(1)设物体A下落h时，物体A的速度为VAT1?0 1122(ml?AB)23l?W?mg2sin300T2?T1??WT2?

?AB?

3g?4.952rad/s2l(1)设弹簧的 最大变形量为?maxT1?0 T2?0

?W?mg(2?T?T??W21l?max1)sin300?k?2max22?max?87.1mm

13-5如图所示，质量为m的滚子A沿倾角为?的斜面向下只滚不滑，并借助于跨过滑轮B的绳提升质量亦为m的物体C，同时质量为m的均质滑轮B绕O轴转动，滚子A和

滑轮B的半径相等，求物块C的速度和加速度。 B O A C

解：设滚子质心下滑距离S时，质心的速度为?

以整体为研究对象，设滚子半径为R，初始动能为T1=常量 该系统的动能为

T2?1311122mR2?A?mR2?B?m2v2 22222将R?A?R?B?v代入，得

T2?1?2m?m2?v2 22?W??mgsin??mg?s

由动能定理得，

1?2m?m2?v2?T1??mgsin??m2g?s 2将上式两边对时间求导得

a?msin??m2g

2m?m2yA

以A为研究对象

?FT?Fxmacx?m(?aA)?FT?F?mgsin? (1)macy?m?0?FN?mgcos? (2)a1JA?A?(mR2)?A?Fr (3)2R联立（1）和（3）得：

?mg?FN3mm2?(m2?2mm2)sin?FT?g

2(2m?m2)13-6 均质OA杆可绕水平轴O转动，另一端铰接一均质圆盘，圆盘可绕铰A在铅直面内自由旋转，如图所示。已知杆OA长l，质量为m1；圆盘半径为R，质量为m2。摩擦不计，初始时杆OA水平，杆和圆盘静止。求杆与水平线成θ角的瞬时，杆的角速度和角加速度。 AO ? A?

图13-6

?解：对于圆盘A有JA?A?MA(Fi)?0

? 即有：?A?0

而初始圆盘静止，故圆盘A平动。