D2??0?r2E2?3?0E2
在z?0处，由ez?(E1?E2)?0和ez(D1?D2)?0，可得
??ex2y?ey3x?exE2x(x,y,0)?eyE2y(x,y,0) ?
2?5??3?E(x,y,0)?002z?于是得到 E2x(x,y,0)?2y
E2y(x,y,0)??3x
E2z(x,y,0)?103
故得到介质2中的E2和D2在z?0处的表达式分别为 E2(x,y,0)?ex2y?ey3x?ez(103)D2(x,y,0)??0(ex6y?ey9x?ez10)
不能求出介质2中任意点的E2和D2。由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。
3.20 电场中一半径为a、介电常数为?的介质球，已知球内、外的电位函数分别为
?1??E0rcos?????03cos?aE02 r?a
??2?0r?2??3?0Ercos? r?a
??2?00验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。
解 在球表面上
?1(a,?)??E0acos?????03?0aE0cos???Eacos?
??2?0??2?003?0E0acos?
??2?02(???0)??13???Ecos??Ecos???Ecos? r?a0?r??2?00??2?003?0??2??Ecos? r?a?r??2?00??1??2故有 ?1(a,?)??2(a,?)， ?0r?a??r?a
?r?r可见?1和?2满足球表面上的边界条件。
?2(a,?)?? 球表面的束缚电荷密度为
3?0(???0)E0cos? r?ar?a??2?03.21 平行板电容器的长、宽分别为a和b，极板间距离为d。电容器的一半厚度d(0~)用介电常数为?的电介质填充，如题3.21图所示。
2(1) (1) 板上外加电压U0，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；
(2) (2) 若已知板上的自由电荷总量为Q，求此时极板间电压和束缚电荷；
?p?nP2?(???0)erE2??(???0)??2?r?(3) (3) 求电容器的电容量。
解 （1） 设介质中的电场为E?ezE，空气中的电场为E0?ezE0。由D?D0，有
zd2?E??0E0 dd又由于 E?E0??U0
22U0
由以上两式解得 E??d2?2?0U02?U0E?? ，0
(???0)d(???0)d2?0?U0
(???0)d2?0?U0????E? 上极板的自由电荷面密度为 上00(???0)d2?0(???0U)0P?(???)E??e 电介质中的极化强度 0z(???0)d2?0(???0U)0???eP? 故下表面上的束缚电荷面密度为p下z(???0)d2?0(???0)U0 上表面上的束缚电荷面密度为 ?p上?ezP??(???0)d2?0?UQ? （2）由 ??ab(???0)dE0(???0)dQU? 得到?1 2??ab0?2(???0)QE ??故?p下?ab?(???0)Q?0E0?p上??
?ab2?0?abQC?? 3 （）电容器的电容为题3.22图 U(???0)d
3.22 厚度为t、介电常数为??4?0的无限大介质板，放置于均匀电场E0中，板与E0 题 3.21图
故下极板的自由电荷面密度为
?下??E??成角?1，如题3.22图所示。求：（1）使?2??4的?1值；（2）介质板两表面的极化电荷密度。
tan?1?0? 解 （1）根据静电场的边界条件，在介质板的表面上有
tan?2??1?1?0tan?2?tan?10?tan?1?14 由此得到 ?1?tan??4 （2）设介质板中的电场为E，根据分界面上的边界条件，有?0E0n??En，即
?0E0cos?1??En
?1所以 En?0E0cos?1?E0cos14
?4介质板左表面的束缚电荷面密度
?p??(???0)En???0E0cos1?4?340.?7E28 00介质板右表面的束缚电荷面密度
?p?(???0)En??0E0cos1?434 00.?7E280 3.23 在介电常数为?的无限大均匀介质中，开有如下的空腔，求各腔中的E0和D0：
（1）平行于E的针形空腔；
（2）底面垂直于E的薄盘形空腔； （3）小球形空腔（见第四章4.14题）。 解 （1）对于平行于E的针形空腔，根据边界条件，在空腔的侧面上，有E0?E。故在针形空腔中
E0?E，D0??0E0??0E
（2）对于底面垂直于E的薄盘形空腔，根据边界条件，在空腔的底面上，有D0?D。故在薄盘形空腔中
D0?D??E，E0?D0?0??E ?03.24 在面积为S的平行板电容器内填充介电常数作线性变化的介质，从一极板
(y?0)处的?1一直变化到另一极板(y?d)处的?2，试求电容量。
解 由题意可知，介质的介电常数为 ???1?y(?2??)1d 设平行板电容器的极板上带电量分别为?q，由高斯定理可得
Dy???q SEy?dDy??q
[?1?y(?2??1)d]S所以，两极板的电位差 U?Eydy?0??2qqddy?ln ?[??y(???)d]SS(???)?1212110d故电容量为 C?S(?2??1)q? Udln(?2?1)?733.25 一体密度为??2.32?10Cm的质子束，束内的电荷均匀分布，束直径为2mm，束外没有电荷分布，试计算质子束内部和外部的径向电场强度。
解 在质子束内部，由高斯定理可得 2?rEr?1?02?r?
?r2.32?10?7r?3??1.31?104rVm (r?10m )故 Er??122?02?8.854?10在质子束外部，有 2?rEr?1?0?a2?
?a22.32?10?7?10?6?21?3??1.31?10Vm )(r?10m故 Er??122?0r2?8.854?10rr3.26 考虑一块电导率不为零的电介质(?,?)，设其介质特性和导电特性都是不均匀的。证明当介质中有恒定电流J时，体积内将出现自由电荷，体密度为??J?(??)。试问有没有束缚体电荷?P？若有则进一步求出?P。
???)J?(?)?J 解 ???D??(?E)??(J????对于恒定电流，有?J?0，故得到 ??J?(??) 介质中有束缚体电荷?P，且
?J?P???P???D??0?E??J?()??0?()???????0??J?()?J?(0)??J?()
???3.27 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体内半径为c，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为?1和?2，电导率为?1和?2。设内导体的电压为U0，
外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的自由电荷面密度；（3）同轴线单位长度的电容及漏电阻。
解 （1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I，则由JdS?I，可得电流密度
S?I
(a?r?c)
2?rJI (a?r?b) 介质中的电场 E1??er?12?r?1JI (b?r?c) E2??er?22?r?2J?erbc由于 U0?E1dr?E2dr?ab??I2??1lnbIc?ln a2??2b于是得到 I?2??1?2U0
?2ln(ba)??1ln(cb)故两种介质中的电流密度和电场强度分别为
J?er?1?2U0 (a?r?c)
r[?2ln(ba)??1ln(cb)]?2U0 (a?r?b) E1?err[?2ln(ba)??1ln(cb)]?1U0 (b?r?c) E2?err[?2ln(ba)??1ln(cb)]? （2）由??nD可得，介质1内表面的电荷面密度为
?1??1erE1介质2外表面的电荷面密度为
r?a?1?2U0
a[?2ln(ba)??1ln(cb)]???2???2erE2两种介质分界面上的电荷面密度为
r?c?2?1U0
c[?2ln(ba)??1ln(cb)]??(?1?2??2?1)U0
r?bb[?2ln(ba)??1ln(cb)]U?ln(ba)??1ln(cb) （3）同轴线单位长度的漏电阻为 R?0?2
I2??1?22??1?2 由静电比拟，可得同轴线单位长度的电容为 C??2ln(ba)??1ln(cb)?12??(?1erE1??2erE2)3.28 半径为R1和R2(R1?R2)的两个同心的理想导体球面间充满了介电常数为?、电导率为???0(1?Kr)的导电媒质(K为常数)。若内导体球面的电位为U0，外导体球面接地。试求：（1）媒质中的电荷分布；（2）两个理想导体球面间的电阻。
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