电磁场与电磁波（第三版）课后答案第3章

故得到液面上升的高度

(???0)U21U2h??(???)() 022d?g2?gd3.36 可变空气电容器，当动片由0至180电容量由25至350pF直线地变化，当动片为?角时，求作用于动片上的力矩。设动片与定片间的电压为U0?400V。

解 当动片为?角时，电容器的电容为

350?25??25?1.81?PF?(25?1.81?)?10?12F

180112?122此时电容器中的静电能量为 We?C?U0?(25?1.81?)?10U0

22?We1??1.81?10?12U02?1.45?10?7Nm 作用于动片上的力矩为 T???23.37 平行板电容器的电容是?0Sd，其中S是板的面积，d为间距，忽略边缘效应。 （1）如果把一块厚度为?d的不带电金属插入两极板之间，但不与两极接触，如题3.37(a)图所示。则在原电容器电压U0一定的条件下，电容器的能量如何变化？电容量如何

C??25?S d?d U0

变化？

（2）如果在电荷q一定的条件下，将一块横截面为?S、介电常数为?的电介质片插入电容器(与电容器极板面积基本上垂直地插入，如题3.37(b)图所示，则电容器的能量如何变化？电容量又如何变化？

解 （1）在电压U0一定的条件下，未插入金属板前，极板间的电场为

题3.37图(a)

电容为 C0?E0?U0 d?0Sd

?0SU0212 静电能量为 We0?C0U0?22d当插入金属板后，电容器中的电场为 E?U0

d??d2?0SU021?U0? 此时静电能量和电容分别为 We??0??S(d??d)?2?d??d?2(d??d)2We?0SC??

U02d??d故电容器的电容及能量的改变量分别为

?C?C?C0??0Sd??d??0Sd?

?0S?dd(d??d)

?We?We?We0??0SU02?d2d(d??d)（2）在电荷q一定的条件下，未插入电介质板前，极板间的电场为 E0??q? ?0?0Sq2dq2? 静电能量为 We0?2C02?0S当插入电介质板后，由介质分界面上的边界条件E1t?E2t，有 E1?E2?E

S 再由高斯定理可得 E??S?E?0(S??S)?q

qd ? ?S ?0 ?q11q2d 此时的静电能量为 We?qU?22??S??(S??S) 0??S??0(S??S) 其电容为 C?d(???0)?S 故电容器的电容及能量的改变量分别为 ?C?d(???0)q2d1?We??

2?0S[??S??0(S??S)]3.38 如果不引入电位函数，静电问题也可以通过直接求解法求解E的微分方程而得解

题3.37图(b)

q

??S??0(S??S)qdU?Ed? 两极板间的电位差位

??S??0(S??S)于是得到极板间的电场为 E?决。

2（1）证明：有源区E的微分方程为?E???t?0，?t????P；

（2）证明：E的解是 E?????t1d?? ?4??0?R2解 （1）由??E?0，可得 ??(??E)?0，即?(?E)??E?0 又 ?E?1?0?(???P)??t2?E??故得到

?0?0??t2?E?（2）在直角坐标系中的三个分量方程为

?01??t1??t1??t22?2Ex??E??E? ，，yz?0?x?0?y?0?z其解分别为

?0?(D?P)?1(???P)

Ex??Ey??Ez??11??td?? ??4??0?R?x11??td?? ?4??0?R?y?11??t?R?z?d?? 4??0?故 E?exEx?eyEy?ezEz?

???t??t11??t???t1??d?? [e?e?e]d??xyz??4??0?R4??0?R?x??y??z??t)d???0 R??t1???tR???t???()???()????解 由于 ，所以 tt3RRRRR?t???t???tR?????()d???d??d??4??E?d?? t03????3.39 证明：???(?R由题3.38(2)可知 故

?R?R?R????td????4??0E ?R???(?t)d????4??0E?4??0E?0 ?R