实际问题与运动中的二次函数丁立伟 【完整版】

第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线

01 教学目标1．会利用二次函数知识解决实物抛物线问题．

2．能根据实际问题构建二次函数模型． 3．02

预习反馈

阅读教材P51(探究3)，完成下列问题．

1．有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，把它的示意图放在如图所示的坐标系中，则抛物线的函数解析式为y＝－x＋x．

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2．隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为y

＝－x＋2，一辆车高3m，宽4m，该车不能(填“能”或“不能”)通过该隧道． 03 新课讲授

例1 (教材P51探究3)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面下降1m，水面宽度增加多少？

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【思路点拨】 将实际问题转化为数学问题，先

建立适当的坐标系求出这条抛物线表示的二次函数，再根据二次函数的图象进行解题．其中以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系最为简便(如图)．

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【解答】 设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax.

由抛物线经过点(2，－2)，可得 －2＝a×2，解得a＝－.

∴这条抛物线表示的二次函数为y＝－x.

当水面下降1m时，水面的纵坐标为y＝－3，这时有－3＝－x，解得x＝±.

∴这时水面宽度为2m.

答：当水面下降1m时，水面宽度增加(2－4)m.

【点拨】 利用二次函数知识解决实物抛物线问题的一般步骤：

(1)建立适当的平面直角坐标坐标系，并将已知条件转化为点的坐标；(2)合理地设出所求的函数的解析式，并代入已知条件或点的坐标，求出解析式；(3)利用解析式求解实际问题．

【跟踪训练1】 第3课时习题)如图是一个横截面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为2米．

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例2 (教材变式例题)某公司草坪的护栏是由50段形状相同

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的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距加设不锈钢管(如图)做成立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)计算所需不锈钢管的总长度．

【解答】 (1)由题意得，B(0，，C(1，0)．

设抛物线的解析式为y＝ax＋c，代入得a＝－，c＝. 故解析式为y＝－＋. (2)如图所示：

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当x＝时，y＝.

当x＝时，y＝.

∴B1C1＋B2C2＋B3C3＋B4C4＝2×＋＝(米)． ∴所需不锈钢管的总长度为：×50＝80(米)．

【点拨】 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．

【跟踪训练2】 如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，

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