2.1.2 求曲线的方程
学习目标 1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念.
知识点一 坐标法的思想
思考1 怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？
答案 只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题.
思考2 依据一个给定的平面图形，选取的坐标系惟一吗？ 答案 不惟一，常以得到的曲线方程最简单为标准.
梳理 (1)坐标法：借助于坐标系，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法. (2)解析几何研究的主要问题：
①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出表示曲线的方程. ②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究曲线的性质. 知识点二 求曲线的方程的步骤
类型一 直接法求曲线的方程
例1 一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍.求动点P的轨迹方程. 解 设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|. 则|8－x|＝2?x－2?＋?y－0?， 化简，得3x＋4y＝48，
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2
故动点P的轨迹方程为3x＋4y＝48. 引申探究
若本例中的直线改为“y＝8”，求动点P的轨迹方程. 解 据题设P(x，y)，
则P到直线y＝8的距离d＝|y－8|， 又|PA|＝?x－2?＋?y－0?， 故|y－8|＝2?x－2?＋?y－0?， 化简，得4x＋3y－16x＋16y－48＝0.
故动点P的轨迹方程为4x＋3y－16x＋16y－48＝0. 反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法
(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件.
(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明. 特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.
→→→→→→
跟踪训练1 已知两点M(－1，0)，N(1，0)，且点P使MP·MN，PM·PN，NM·NP成公差小于零的等差数列.求点P的轨迹方程.
解 设点P(x，y)，由M(－1，0)，N(1，0)， →→
得PM＝－MP＝(－1－x，－y)， →→
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222
2
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PN＝－NP＝(1－x，－y)， MN＝－NM＝(2，0).
→→→→22
∴MP·MN＝2(x＋1)，PM·PN＝x＋y－1，
→
→
→→
NM·NP＝2(1－x).
→→→→→→
于是，MP·MN，PM·PN，NM·NP成公差小于零的等差数列等价于1??x2＋y2－1＝[2?x＋1?＋2?1－x?]，2?
??2?1－x?－2?x＋1?<0，
??x＋y＝3，即?
?x>0.?
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2
∴点P的轨迹方程为x＋y＝3(x>0). 类型二 代入法求解曲线的方程
例2 动点M在曲线x＋y＝1上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程.
2
2
解 设P(x，y)，M(x0，y0)， 因为P为MB的中点，
??2所以?yy＝??2，
02
x0＋3x＝，
2
2
2
即?
?x0＝2x－3，?
??y0＝2y，
又因为M在曲线x＋y＝1上， 所以(2x－3)＋4y＝1.
所以P点的轨迹方程为(2x－3)＋4y＝1. 反思与感悟 代入法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0).
??x0＝f?x，y?，(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系?
?y0＝g?x，y?.?
2
2
(3)代入相关动点的轨迹方程. (4)化简、整理，得所求轨迹方程.
跟踪训练2 △ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条定直线移动，求△ABC外心的轨迹方程.
解 如图所示，以BC所在的定直线为x轴，以过A点与x轴垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则A点的坐标为(0，b).设△ABC的外心为M(x，y)，
作MN⊥BC于N，则MN是BC的垂直平分线. ∵|BC|＝2a，∴|BN|＝a，|MN|＝|y|. 又M是△ABC的外心，∴M∈{M||MA|＝|MB|}. 而|MA|＝x＋?y－b?，
|MB|＝|MN|＋|BN|＝a＋y， ∴x＋?y－b?＝a＋y，
化简，得所求轨迹方程为x－2by＋b－a＝0. 类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点
例3 过点M(1，2)的直线与曲线y＝(a≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围.
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ax
解 当过M点的直线斜率为零或斜率不存在时， 不可能与曲线有两个公共点.
设直线方程为y－2＝k(x－1)(k≠0)，
y－2＝k?x－1?，??
联立曲线方程，得?ay＝，??x2
消去x，得y－(2－k)y－ka＝0. 当此方程有两个不同的根，
①
即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点. ∴Δ＝(2－k)＋4ka>0. 设方程①的两根分别为y1，y2， 由根与系数的关系，得y1＋y2＝2－k. 又∵y1＋y2＝a， ∴k＝2－a， 代入Δ>0中， 得a＋4a(2－a)>0， 8
解得0 ∴2－a≠0，即a≠2. 8 ∴a的取值范围是(0，2)∪(2，). 3 反思与感悟 结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.即两曲线C1和C2的方程分别为F(x，y)＝0和G(x，y)＝0，则它们的交点坐标由方程组? ?F?x，y?＝0，? ??G?x，y?＝0 2 2 的解来确定. 2 2 跟踪训练3 直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x＋y＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程. 解 设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5，0)， 再由OM⊥MP，得|OP|＝|OM|＋|MP|， ∴x＋y＋(x－5)＋y＝25， 52225整理得(x－)＋y＝. 24∵点M应在圆内， 2 2 2 22 2 2
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