第四章 经典单方程计量经济学模型：放宽基本假定的模型

第四章 经典单方程计量经济学模型：放宽基本假定的模型

1、下列哪种情况是异方差性造成的结果？ （1）OLS估计量是有偏的

（2）通常的t检验不再服从t分布。

（3）OLS估计量不再具有最佳线性无偏性。 解答： 第（2）与（3）种情况可能由于异方差性造成。异方差性并不会引起OLS估计量出现偏误。 2、已知模型

Yt??0??1X1t??2X2t?ut Var(ut)??t2??2Zt2

式中，Y、X1、X2和Z的数据已知。假设给定权数wt，加权最小二乘法就是求下式中的各β，以使的该式最小

RSS??(wtut)2??(wtYt??0wt??1wtX1t??2wtX2t)2

（1）求RSS对?1、?2和?2的偏微分并写出正规方程。 （2）用Z去除原模型，写出所得新模型的正规方程组。

（3）把wt?1/Zt带入（1）中的正规方程，并证明它们和在（2）中推导的结果一样。 解答：（1）由RSS??(wu)ttt1t2??(wtYt??0wt??1wtX1t??2wtX2t)2对各β求偏导??2wtX2t)wt?0 ??2wtX2t)wtX1t?0 ??2wtX2t)wtX1t?0

得如下正规方程组：

?(wY??w??wXtt01t?(wY??w??wXtt0t1t1t?(wY??w??wXtt0t1t1t（2）用Z去除原模型，得如下新模型

Yt?XXu?0??11t??22t?t ZtZtZtZtZt对应的正规方程组如下所示：

?(?(?(Yt?0XX1???11t??22t)?0 ZtZtZtZtZtYt?0XXX???11t??22t)1t?0 ZtZtZtZtZtYt?0XXX???11t??22t)2t?0 ZtZtZtZtZt（3）如果用

1代替（1）中的wt，则容易看到与（2）中的正规方程组是一样的。 Zt3、已知模型 Yi??0??1X1i??2X2i?ui

式中，Yi为某公司在第i个地区的销售额；X1i为该地区的总收入；X2i为该公司在该地区投入的广告费用（i=0,1,2??,50）。

（1）由于不同地区人口规模Pi可能影响着该公司在该地区的销售，因此有理由怀疑随机误差项ui是异方差的。假设?i依赖于总体Pi的容量，请逐步描述你如何对此进行检验。需说明：1）零假设和备择假设；2）要进行的回归；3）要计算的检验统计值及它的分布（包括自由度）；4）接受或拒绝零假设的标准。 （2）假设?i??Pi。逐步描述如何求得BLUE并给出理论依据。

解答：（1）如果?i依赖于总体Pi的容量，则随机扰动项的方差?i2依赖于Pi2。因此，要进

2行的回归的一种形式为?i2??0??1Pi??i。于是，要检验的零假设H0：?1?0，备择

假设H1：?1?0。检验步骤如下：

~2； 第一步：使用OLS方法估计模型，并保存残差平方项ei~2对常数项C和P2的回归 第二步：做eii第三步：考察估计的参数?1的t统计量，它在零假设下服从自由度为2的t分布。 第四步：给定显著性水平面0.05（或其他），查相应的自由度为2的t分布的临界值，

?1的t统计值大于该临界值，则拒绝同方差的零假设。 如果估计的参数?（2）假设?i??Pi时，模型除以Pi有：

YiXXu1??0??11i??22i?i PiPiPiPiPi由于Var(ui/Pi)??i2/Pi2??2，所以在该变换模型中可以使用OLS方法，得出BLUE估计值。方法是对Yi/Pi关于1/Pi、X1i/Pi、X2i/Pi做回归，不包括常数项。 4、以某地区22年的年度数据估计了如下工业就业回归方程

Y??3.89?0.51lnX1?0.25lnX2?0.62lnX3

（-0.56）(2.3) (-1.7) (5.8)

R?0.996 DW?1.147

2式中，Y为总就业量；X1为总收入；X2为平均月工资率；X3为地方政府的总支出。 （1）试证明：一阶自相关的DW检验是无定论的。 （2）逐步描述如何使用LM检验 解答：（1）由于样本容量n=22，解释变量个数为k=3，在5%在显著性水平下，相应的上下临界值为dU?1.664、dL?1.503。由于DW=1.147位于这两个值之间，所以DW检验是无定论的。

（2）进行LM检验：

~； 第一步，做Y关于常数项、lnX1、lnX2和lnX3的回归并保存残差et~的回归并计算R； ~关于常数项、lnX1、lnX2和lnX3和e第二步，做et?1t2第三步，计算检验统计值(n-1)R=21?0.996=20.916；

第四步，由于在不存在一阶序列相关的零假设下(n-1)R呈自由度为1的?2分布。在5%

22的显著性水平下，该分布的相应临界值为3.841。由于20.916>3.841，因此拒绝零假设，意

味着原模型随机扰动项存在一阶序列相关。

5、某地区供水部门利用最近15年的用水年度数据得出如下估计模型：

water??326.9?0.305house?0.363pop?0.005pcy?17.87price?1.123rain

（-1.7） (0.9) (1.4) (-0.6) (-1.2) (-0.8)

R2?0.93

F=38.9

式中，water——用水总量（百万立方米）,house——住户总数（千户）,pop——总人口（千人）,pcy——人均收入（元）,price——价格（元/100立方米）,rain——降雨量（毫米）。 （1）根据经济理论和直觉,请计回归系数的符号是什么(不包括常量)，为什么？观察符号与你的直觉相符吗？

（2）在10%的显著性水平下，请进行变量的t-检验与方程的F-检验。T检验与F检验结果有相矛盾的现象吗？

（3）你认为估计值是（1）有偏的；（2）无效的或（3）不一致的吗？详细阐述理由。 解答：

（1）在其他变量不变的情况下，一城市的人口越多或房屋数量越多，则对用水的需求越高。所以可期望house和pop的符号为正；收入较高的个人可能用水较多，因此pcy的预期符号为正，但它可能是不显著的。如果水价上涨，则用户会节约用水，所以可预期price的系数为负。显然如果降雨量较大，则草地和其他花园或耕地的用水需求就会下降，所以可以期望rain的系数符号为负。从估计的模型看，除了pcy之外，所有符号都与预期相符。 （2）t-统计量检验单个变量的显著性，F-统计值检验变量是否是联合显著的。

这里t-检验的自由度为15-5-1=9，在10%的显著性水平下的临界值为1.833。可见，所有参数估计值的t值的绝对值都小于该值，所以即使在10%的水平下这些变量也不是显著的。

这里，F-统计值的分子自由度为5，分母自由度为9。10%显著性水平下F分布的临界值为2.61。可见计算的F值大于该临界值，表明回归系数是联合显著的。

T检验与F检验结果的矛盾可能是由于多重共线性造成的。house、pop、pcy都是高度相关的，这将使它们的t-值降低且表现为不显著。price和rain不显著另有原因。根据经

验，如果一个变量的值在样本期间没有很大的变化，则它对被解释变量的影响就不能够很好地被度量。可以预期水价与年降雨量在各年中一般没有太大的变化，所以它们的影响很难度量。 （3）多重共线性往往表现的是解释变量间的样本观察现象，在不存在完全共线性的情况下，近似共线并不意味着基本假定的任何改变，所以OLS估计量的无偏性、一致性和有效性仍然成立，即仍是BLUE估计量。但共线性往往导致参数估计值的方差大于不存在多重共线性的情况。

6、一个对某地区大学生就业增长影响的简单模型可描述如下

gEMPt??0??1gMIN1t??2gPOP??3gGDP1t??4gGDPt??t

式中，为新就业的大学生人数，MIN1为该地区最低限度工资，POP为新毕业的大学生人数，GDP1为该地区国内生产总值，GDP为该国国内生产总值；g表示年增长率。

（1）如果该地区政府以多多少少不易观测的却对新毕业大学生就业有影响的因素作为基础来选择最低限度工资，则OLS估计将会存在什么问题？

（2）令MIN为该国的最低限度工资，它与随机扰动项相关吗？ （3）按照法律，各地区最低限度工资不得低于国家最低工资，哪么gMIN能成为gMIN1的工具变量吗？ 解答：

（1）由于地方政府往往是根据过去的经验、当前的经济状况以及期望的经济发展前景来定制地区最低限度工资水平的，而这些因素没有反映在上述模型中，而是被归结到了模型的随机扰动项中，因此 gMIN1 与?不仅异期相关，而且往往是同期相关的，这将引起OLS估计量的偏误，甚至当样本容量增大时也不具有一致性。

（2）全国最低限度的制定主要根据全国国整体的情况而定，因此gMIN基本与上述模型的随机扰动项无关。 （3）由于地方政府在制定本地区最低工资水平时往往考虑全国的最低工资水平的要求，因此gMIN1与gMIN具有较强的相关性。结合（2）知gMIN可以作为gMIN1的工具变量使用。

4-1．解释下列概念： （1）异方差性 （6）不完全多重共线性 （2）序列相关性 （7）随机解释变量 （3）多重共线性 （8）差分法 （4）偏回归系数 （9）广义最小二乘法 （5）完全多重共线性 （10）D.W.检验

⑴异方差性指对于不同的样本值，随机扰动项的方差不再是常数，而是互不相同的。 ⑵序列相关性指对于不同的样本值，随机扰动项之间不再是完全相互独立，而是存在某种相关性。

（3）多重共线性指两个或多个解释变量之间不再彼此独立，而是出现了相关性。

⑷偏回归系数指：在三变量线性回归模型中，当其中一个解释变量为常量时，另一个解释变量对被解释变量均值的影响。 ⑸完全多重共线性指：在有多个解释变量模型中，其中一个变量可以表示为其他多个变量的完全线性函数，即X1?B2X2?B3X3??BkXk，其中至少有一个

Bi?0,(i?2,3,?,k)，X1与等式右边线性组合的相关系数为1，则这种情况被称为完全