高考数学之冲破压轴题讲与练 专题09 数列中不等式恒成立问题【解析版】

第二章 数列与不等式

专题09 数列中不等式恒成立问题

【压轴综述】

纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．数列中不等式恒成立问题，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一. 主要有两类：一是证明不等式恒成立，二是由不等式恒成立确定参数的值（范围）. 以数列为背景的不等式恒成立问题,或不等式的证明问题,多与数列求和相联系,最后利用函数的单调性求解,或利用放缩法证明.

本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.

(1)数列与不等式的综合问题，如果是证明题，要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式，往往采用因式分解法或穿根法等．

(2)如用放缩法证明与数列求和有关的不等式，一般有两种方法：一种是求和后再放缩；一种是放缩后再求和．放缩时，一要注意放缩的尺度，二要注意从哪一项开始放缩．

【压轴典例】

例1.（2019·浙江高考真题）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3?4，a4?S3，数列{bn}满足：对每

n?N?,Sn?bn,Sn?1?bn,Sn?2?bn成等比数列.

（1）求数列{an},{bn}的通项公式；

（2）记Cn?an,n?N?, 证明：C1?C2+L?Cn?2n,n?N?. 2bn【答案】（1）an?2?n?1?，bn?n?n?1?；（2）证明见解析. 【解析】

a1?2d?4??a1?0? (1)由题意可得：?，解得：， 3?2?a1?3d?3a1?d?d?2?2?则数列?an?的通项公式为an?2n?2 .

其前n项和S?2??nn??0?2n2?n?n?1?.

则n?n?1??bn,n?n?1??bn,?n?1??n?2??bn成等比数列，即：

?2?n?n?1??bn?????n?n?1??bn??????n?1??n?2??bn??，

据此有：

n2?n?1?2?2n?n?1?b2??n?2???n?1??n?2?b2n?bn?n?n?1??n?1n?n?n?1?bn?bn，故bn2(n?1)2?n(n?1)(n?1)(n?2)n??n?1??n?2??n?n?1??2n?n?1??n?n?1?. (2)结合(1)中的通项公式可得：

Cnn?a2b?n?1n?1??1n?2n?n?2n?n?1?2?n?n?1?，

nn?则C1?C2?L?Cn?2?1?0??2?2?1??L?2?n?n?1??2n. 例2. （2018·浙江高考模拟）数列满足

，

，……，

（1）求，，，的值； （2）求与

之间的关系式

；

（3）求证： 【答案】（1），

，

，

；（2）

；（3）详见解析.

【解析】 （1）

，

，

， ；

（2）

！

；

（3）证明：由（2）可知，

所以

. 所以

时不等式成立，而

时不等式显然成立，所以原命题成立.

例3.（2019·河南高考模拟（理））已知数列

?b?的前n项和为Snn，

Sn?bn?2，等差数列

?a?满足

nb1a2?3，

b1?a5?7

（Ⅰ）求数列?an?，?bn?的通项公式； （Ⅱ）证明：a1b2?a2b3?L?anbn?1?3.

?1?【答案】（Ⅰ）an?n?1,bn????2?【解析】

n?1；（Ⅱ）详见解析.

（Ⅰ）QSn?bn?2 ?当n?1时，b1?S1?2?b1 ?b1?1 当n?2时，bn?Sn?Sn?1?2?bn?2?bn?1，整理得：bn?1bn?1 2n?111??数列?bn?是以1为首项，为公比的等比数列 ?bn????2?2?设等差数列?an?的公差为d

?a1?d?3?a1?2Qb1a2?3，b1?a5?7 ??，解得：?

a?4d?6d?1??1?an?a1??n?1?d?2??n?1??1?n?1

1?1??1?（Ⅱ）证明：设Tn?a1b2?a2b3?????anbn?1?2??3?????????n?1????

2?2??2?2n

1?1??1??1??Tn?2????3?????????n?1????2?2??2??2?两式相减可得：

23n?1

1?1??1??1??1?Tn?1???????????????n?1????2?2??2??2??2?Tn?3?n?3 n223nn?1?1??1??n?1?????2?n?11?1?1???4?2n?1??3?n?3 ?n?11221?2即a1b2?a2b3?????anbn?1?3?n?3 n2Qn?3?0 ?a1b2?a2b3?????anbn?1?3 n2an?1?1，n???． 2例4.（2016高考浙江理）设数列?an?满足an?（I）证明：an?2n?1?a1?2?，n???；

?3???（II）若an???，n??，证明：an?2，n??．

?2?【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析． 【解析】 （I）由an?nan?11?1得an?an?1?1，故 22anan?11???，n??， nn?1n222所以

a121??a1a2??a2a3??an?1an???????????????n?1?n? 2n?2122??2223?2??2an?111?????? 12n?1222?1，

因此

an?2n?1?a1?2?．