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（II）任取n??，由（I）知，对于任意m?n，

?an2n?am2m?aan?1??n?n2n?1?2??an?1an?2???n?1?n?22??2??am?1am????????m?1?m?

2???2111?????? nn?1m?12221?n?1， 2?故

?1a?nan??n?1?m?2 m?22??m?11?3??n??n?1?m?????2

2?2????2??3??2????2n．

?4?从而对于任意m?n，均有

m?3?an?2????2n．

?4?由m的任意性得an?2． ①

?m否则，存在n0??，有an0?2，取正整数m0?log34m0log34an0?22n0且m0?n0，则

?3?2????4?m0?3??2????4?n0an0?22n0?an0?2，

与①式矛盾．

综上，对于任意n??，均有an?2．

例5.（2019·河北石家庄二中高考模拟（理））已知等比数列是

??an?满足an?an?1,a2?a3?a4?28，且a3?2a2,a4的等差中项.

?1?求数列?an?的通项公式；

an, S?b?b?···+bn，对任意正整数n，Sn??n?m?an?1?0恒成立，试求m的取?2?若bn?anlog1n122

值范围.

n【答案】（1）an?2；（2）???,?1?.

【解析】

?1?设等比数列?an?的首项为a1，公比为q.依题意，

有2?a3?2??a2?a4，代入a2?a3?a4?28，得a3?8.因此a2?a4?20

1?3??q?2?q?,?a1q?a1q?20,即有?，解得?或?2 2aq?8,a?2?q?1???a1?32,?q?2n又?an?数列单调递增，则?故an?2.

?a1?2nnn232Qb?2log2??n?2n1， ??Sn?1?2?2?2?3?2+???+n?2, ① ?2?

2?2Sn?1?22?2?23?3?24??????n?1??2n?n?2n?1，②

①?②，得

Sn?2?2?2?????2?n?223nn?1?21?2n1?2???n?2n?1 ?2n?1?n?2n?1?2.

QSn??n?m?an?1?0，?2n?1?n?2n?1?2?n?2n?1?m?2n?1?0

对任意正整数n恒成立，

?m?2n?1?2?2n?1对任意正整数n恒成立，即m?1?1恒成立. n2Q1?1??1，?m??1，即m的取值范围是???,?1?. n2例6.（2019·江苏高考模拟）已知在数列{an}中，设a1为首项，其前n项和为Sn，若对任意的正整数m，n都有不等式S2m+S2n＜2Sm+n（m≠n）恒成立，且2S6＜S3． （1）设数列{an}为等差数列，且公差为d，求

a1的取值范围； d（2）设数列{an}为等比数列，且公比为q（q＞0且q≠1），求a1?q的取值范围． 【答案】(1)【解析】

在数列{an}中，设a1为首项，其前n项和为Sn，

a1＜﹣3；（2）a1?q＞0 d

若对任意的正整数m、n都有不等式S2m+S2n＜2Sm+n（m≠n）恒成立， （1）设{an}为等差数列，且公差为d， 则：2ma1+

2m(2m?1)2n(2n?1)(m?n)(m?n?1)d+2na1+d＜2[（m+n）a1+d]，

222a1＜﹣3； d整理得：（m﹣n）2d＜0，则d＜0，由2S6＞S3，整理得：9a1+27d＞0， 则a1＞﹣3d，所以d＜0，

（2）设{an}为等比数列，且公比为q（q＞0且q≠1）， 则

a1?1?q2m?1?q?a1?1?q2n?1?q?2a1?1?qm+n?1?q，整理得

a1m+n2m2n

（2q﹣q﹣q）＜0， 1?q则：﹣

a1a1mn263（q﹣q）＜0，所以＞0，由2S6＞S3，则：2q﹣q﹣1＜0 1?q1?q1＜q3＜1，由于q＞0，所以：0＜q＜1，则：a1＞0．即有a1?q＞0． 2解得：﹣

例7. （2017·高考模拟（理））已知数列?an?前n项和Sn，点?n,Sn?n?N象上．

(1)求?an?的通项公式；

?*x?在函数y?122?1x的图2?1?1(2)设数列??的前n项和为Tn，不等式Tn?loga(1?a)对任意的正整数恒成立，求实数a的取值

3?anan?2?范围．

【答案】（1）an?n；（2）(0,). 【解析】

（1）Q点?n,Sn?在函数f?x??当n?2时，Sn?1?①-②得an?n.

当n?1时，a1?S1?1，符合上式.

1212111x?x的图象上，?Sn?n2?n.① 2222112?n?1???n?1?，② 22?an?nn?N*．

??

（2）由（1）得

11?

anan?2n?n?2??1?11????， 2?nn?2?111??L? a1a3a2a4anan?2?Tn??1?11111?1????L???? 2?324nn?2?31?11?????． 42?n?1n?2??QTn?1?Tn?1?n?1??n?3??0，

?数列?Tn?单调递增，

1??Tn?中的最小项为T1?.

31要使不等式Tn?loga?1?a?对任意正整数n恒成立，

311只要?loga?1?a?，

33即loga?1?a??logaa. 解得0?a?1， 2??1?2?

即实数a的取值范围为?0,?.

例8.（2019·天津高考模拟（理））已知单调等比数列?an?中，首项为

1，其前n项和是Sn，且22bn11?a3?S3,S5,a4?S4成等差数列,数列?bn?满足条件

a1a2a3Lan2(Ⅰ) 求数列?an?、?bn?的通项公式； (Ⅱ) 设 cn?an???.

1,记数列?cn?的前n项和 Tn. bn