高考数学之冲破压轴题讲与练 专题09 数列中不等式恒成立问题【解析版】

又Sn＜m恒成立，m∈Z，所以m的最小值为8.

6. （2019·临川一中实验学校高考模拟（理））已知正项数列?an?的前n项和为Sn，满足

22Sn?1?2an?an?n?N??．

（1）求数列?an?的通项公式；

1111???L??M恒成立，求实数M的最小值； （2）已知对于n?N，不等式

S1S2S3Sn?【答案】（1）an?【解析】

n?122；（2）. 292（1）n?1时，2a1?1?2a1?a1，又an?0，所以a1?1，

当n?2时，2Sn?1?2an?ann?N2?2Sn?1?1?2an?1?an?1?n?N?，

2???

作差整理得：an?an?1?2?an?an?1??an?an?1?， 因为an?0，故an?an?1?0，所以an?an?1?故数列?an?为等差数列，所以an?（2）由（1）知Sn?1， 2n?1． 2144?11?n?n?3?????，所以?， Snn?33nn?3????4n从而

1111???L? S1S2S3Sn4??1??11??11?1??11??11???1=??1???????????L????????????? 3??4??25??36?n?2n?1n?1n?2nn?3???????4?11111?4?11111?22??1?????????． ????3?23n?1n?2n?3?3?6n?1n?2n?3?9所以M?2222，故M的最小值为．

997. 在等差数列{an}中，a2＝6，a3＋a6＝27. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)记数列{an}的前n项和为Sn，且Tn＝围.

【答案】(1)an＝3n. (2) [,+?).

【解析】(1)设公差为d，由题意得：

???a1＋d＝6，?a1＝3，?解得?∴an＝3n. ?2a1＋7d＝27，?d＝3，??

Sn3·2

n－1

，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值范

323

(2)∵Sn＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝n(n＋1)，

2∴Tn＝

n（n＋1）

2

n（n＋1）（n＋2）

，Tn＋1＝， n＋1

2

（n＋1）（n＋2）n（n＋1）

∴Tn＋1－Tn＝－ n＋1n22＝

（n＋1）（2－n）， n＋1

2

3

∴当n≥3时，Tn>Tn＋1，且T1＝1

233∴Tn的最大值是，故实数m的取值范围是[,+?).

228. 已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.

(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值； (2)对于n∈N，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．

【答案】(1)当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2. (2)(－3，＋∞)．

【解析】 (1)由n－5n＋4<0，解得1

所以数列中有两项是负数，即为a2，a3. 因为an＝n－5n＋4＝(n-2*

2

*

529)－， 242

由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.

(2)由对于n∈N，都有an＋1>an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n＋kn＋4，可以看作是关于

*

n的二次函数，考虑到n∈N*，所以<，即得k>－3.

所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．

k322

22

9.（2013·江西卷）正项数列{an}的前n项和Sn满足：S2n－(n＋n－1)Sn－(n＋n)＝0.

(1)求数列{an}的通项公式an； (2)令bn＝n?15*

，数列{b}的前n项和为T，证明：对于任意的n∈N，都有. T?nnn(n?2)2an264【答案】（1）an?2n.（2）见解析.

10.（2016年高考四川理）已知数列{an }的首项为1，Sn 为数列{an}的前n项和，Sn?1?qSn?1 ，其中q>0，n?N* .

（Ⅰ）若2a2,a3,a2?2 成等差数列，求{an}的通项公式；

y254n?3n（Ⅱ）设双曲线x?2?1 的离心率为en ，且e2? ，证明：e1?e2?????en? n?133an.

2【答案】（Ⅰ）an=qn-1；（Ⅱ）详见解析. 【解析】

（Ⅰ）由已知，Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1, 两式相减得到an+2=qan+1,n?1. 又由S2=qS1+1得到a2=qa1，故an+1=qan对所有n31都成立. 所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列.

从而an=qn-1.

由2a2，a3，a2+2成等比数列，可得2a3=3a2+2，即2q2=3q+2,，则(2q+1)(q-2)=0， 由已知,q>0，故 q=2. 所以an=2n-1(n?N*).

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，an=qn-1.

y2所以双曲线x-2=1的离心率 en=1+an2=1+q2(n-1)．

an2由q=1+q2=45解得q=.

331因为1+q2(k-1)>q2(k-1)，所以1+q2(k-1)>qk-（. k?N*）?en>1+q+鬃?q于是e1+e2+鬃4n-3n故e1+e2+鬃. ?e3>3n-1n-1qn-1=， q-111. 设函数f(x)?lnx?px?1 （1）求函数f(x)的极值点；

（2）当p?0时，若对任意的x?0，恒有f(x)?0，求p的取值范围；

ln22ln32ln42lnn22n2?n?1(n?N,n?2) （3）证明：2?2?2?????2?234n2(n?1)【答案】（1）x?（2）[1,??)； （3）见解析. 【解析】

（1）∵ f(x)?lnx?px?1，∴f(x)的定义域为(0,??)，f'(x)?1； p11?px，当p?0时，?p?xx1； pf'(x)?0，f(x)在(0,??)上无极值点，当p?0时，f(x)有唯一极大值点x?（2）由（1）可知，当p?0时，f(x)在x?111处却极大值f()?ln，此极大值也是最大值，要 ppp