利用正、余弦定理判定三角形形状
判定三角形形状在高中数学中有着重要的地位，在求解三角形、三角函数的问题时该知识点有着广泛的应用．本文对该类问题常用知识点及常用分析方法总结如下.
一、三角形形状的判断依据
（1）等腰三角形?a?b?A?B.
（2）等边三角形?a?b?c?a?b且有一角为60?. （3）直角三角形?a2?b2?c2?C?90?. （4）等腰直角三角形?a?b且C?90?.
b2?c2?a2?0?a2?b2?c2?A?90?. （5）钝角三角形?cosA?2bcb2?c2?a2?0?a2?b2?c2 （6）锐角三角形?最大边a满足cosA?2bc?最大角A?90?.
二、判定三角形形状基本思想方法：
1.计算、化简过程中常用的数学思想：（1）化归、转化思想的应用，即利用正弦定理（或余弦定理）进行代换，将已知条件中的等式转化为都是边或都是角的等式.（2）消元思想，常用A?B?C??，减少角的个数.
2.计算、化简的方向有两个： （1）利用正、余弦定理统一成角，再通过两角和与差、倍角等三角公式进行恒等变形，得出三角形两角之间的关系.
（2）利用正、余弦定理统一成边，再通过边恒等变形、分解因式等方法，得出三角形边之间的关系.
三、解三角形常用知识要点
1.正弦定理：
abc???2R（R为三角形外接圆半径）. sinAsinBsinC变形公式：（1）a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC；
abc,sinB?,sinC?； 2R2R2R（3）sinA:sinB:sinC?a:b:c
（2）sinA?2.余弦定理：
a2?b2?c2?2bccosA,b2?a2?c2?2accosB,c2?a2?b2?2abcosC.
b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2变形公式：cosA?，cosB?，cosC?.
2ab2bc2ac3.三角形面积公式：S??4.三角形中的常用结论：
111absinC?acsinB?bcsinA 222（1）A?B?C???A???(B?C)?sinA?sin(B?C)，cosA??cos(B?C). （2）
A?B?CAB?CAB?C???sin?cos，cos?sin . 22222225.三解形中化简计算，常用两角和与差的正、余弦公式及二倍角公式.
四、典型例题
1.直接利用三角形三边关系进行判断
例1.在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足a:b:c?2:6:(3?1)，试判断三角形的形状.
【解析】由题意，可设a?2k，b?6k，c?(3?1)k，k?0.则c边最大.
222因为c2?(4?23)k2，a?b?8k，
a2?b2?c2?0. 所以，c?a?b，cosC?2ab222则最大角C为锐角.所以?ABC为锐角三角形.
【点评】已知条件均为三边之间的关系，不需要利用正弦定理或余弦定理统一成边或角，直接计算最大边所对的角的余弦值即可.
例2. 在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a,b,c成等比数列，且c?2a，试判断三角形的形状.
2【解析】因为a,b,c成等比数列，所以b?ac.又c?2a，所以b2?2a2，b?2a.
所以，c为最长边，角C为最大角.
a2?b2?c2a2?b2?4a22因为cosC?????0.可得角C为钝角.
2ab22a2a所以?ABC为钝角三角形.
【点评】已知条件均为三边之间的关系，不需要利用正弦定理或余弦定理统一成边或角，直接计算最大边所对的角的余弦值即可.
例3.在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且有a?b?c(n?3)，试判断三角形的形状.
nnnnn【解析】∵a?b?c(n?3)∴()?()?1(n?3).
nnnacbcb?b??0??1,?y???是减函数.
c?c?nababcccca2b2即()?()?1,∴a2?b2?c2.
cc22nn∴()?()?()?()?1(n?3).
a2?b2?c2?0,∴C为锐角. ∴cosC?2ab∴?ABC为锐角三角形. 【点评】（1）已知条件均为三边之间的关系，不需要利用正弦定理或余弦定理统一成边或角，直接计算最大边所对的角的余弦值即可.（2）本题利用指数函数的单调性进行放缩是关键. 2.直接利用三角恒等变形，转化为角关系进行判断
例4.（05北京）在?ABC中，已知2sinAcosA?sinC,那么?ABC一定是（）
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形三角形 D.正三角形 【解析】sinC?sin(A?B)，?2sinAcosB?sin(A?B)
?sinAcosB?cosAsinB?0，?sin(A?B)?0.
在?ABC中可得，A?B?0，即A?B.所以?ABC是等腰三角形.故选B. 【点评】（1）本题条件均为各角之间的三角函数关系，无需利用正、余弦定理统一成边或角的等式，可直接进行三角恒等变形，从而得到角之间的关系，判断出三角形形状.
（2）本题也可利用正、余弦定理均统一成边之间的关系，再恒等变形，得到两边之间的关系，从而判断出三角形形状.
A，试判断此三角形的类型. 21?cosA2A【解析】由sinBsinC?cos得，sinBsinC?
222例5.在?ABC中，已知sinBsinC?cos所以，2sinBsinC?1?cos[180?(B?C)]，即2sinBsinC?1?cos(B?C)
?2sinBsinC?1?(cosBcosC?sinBsinC)，整理得，cosBcosC?sinBsinC?1
所以，cos(B?C)?1.在?ABC中可得B?C?0，B?C. 所以，?ABC是等腰三角形. 【点评】(1)本题关键：看到cos2A1?cosA2A?，可联想降次公式cos. 222(2)由于已知条件都是三角函数关系式，故无需向边的关系转化，而是进行三角函数式的恒
等变形.
3.需要先利用正（余）弦定理统一成边或角的等式，再进行三角恒等变形得出角的关系或边的关系，进行判断
例6.在?ABC中，若a(bcosB?ccosC)?(b?c)cosA，试判断三角形的形状.
22【解析】方法一：均统一成角.
?abc???2R sinAsinBsinC?a?2RsinA，b?2RsinB，c?2RsinC，代入已知，得
2RsinA(2RsinBcosB?2RsinCcosC)?[(2RsinB)2?(2RsinC)2]cosA,
即2R2sinA(2sinBcosB?2sinCcosC)?2R2cosA(2sin2B?2sin2C)，
sinA(sin2B?sin2C)?cosA[(1?cos2B)?(1?cos2C)]，
sinAsin2B?sinAsin2C?cosAcos2C?cosAcos2B， cosAcos2B?sinAsin2B?cosAcos2C?sinAsin2C.
所以cos(A?2B)?cos(A?2C).
在?ABC中，可得A?2B?A?2C或A?2B??(A?2C)
所以，B?C或A?B?C
所以，?ABC为等腰三角形或直角三角形.
b?2RsinB，【点评】已知等式是关于边的二次齐次式，可利用正弦定理变式a?2RsinA，
c?2RsinC，将等式统一成角的三角函数等式，再化简. 方法二：均统一成边.
b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2由余弦定理得，cosA?，cosB?，cosC?.
2ab2bc2ac222a2?c2?b2a2?b2?c222b?c?a?c?)?(b?c)?代入已知，得：a(b?.
2ac2ab2bc222整理，得：(b2?c2)[a2?(b2?c2)]?0,?b?c或a?b?c.
所以，?ABC为等腰三角形或直角三角形. 【点评】（1）已知等式中有余弦，可用余弦定理代换，将等式统一成边的等式，再化简. （2）变形过程中，等式两边不能随意同除以某式子，常进行因式分解，否则易丢解出错. 例7.在?ABC中，已知sinC?【解析】方法一：均统一成边
由已知得，cosA?cosB?sinA?sinB，试判定ΔABC的形状.
cosA?cosBsinA?sinB，
sinCb2?c2?a2a2?c2?b2a?b??所以，，
c2bc2ac232322222即ac?a?bc?b?ab?ab?0，可得(a?b)(c?a?b)?0.
222因为a?b?0，所以c?a?b.
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