疱丁巧解牛
知识·巧学 双曲线
1 .第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线(hyperbola). 两定点F1、F2是焦点，两焦点间的距离｜F1F2｜是焦距，用2c表示.常数用2a表示.
双曲线第二定义：平面内到一定点F与定直线l，(F不在l上)的距离之比为e，当e＞1时动点轨迹叫双曲线.
①若|MF1|-|MF2|=2a时，曲线只表示焦点F2所对应的一支双曲线; ②若|MF1|-|MF2|=-2a时，曲线只表示焦点F1所对应的一支双曲线;
③若2a=2c时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F1、F2为端点向外的两条射线; ④若2a＞2c时，动点的轨迹不存在.
深化升华 当题目中出现双曲线上的点到焦点的距离，常用椭圆的第二定义转化为点到准线的距离来研究.①定义的“双向运用”，即：一方面，符合定义的条件的动点轨迹为双曲线；另一方面，双曲线上点有定义中条件的性质.②两个定义的综合运用是解决有些双曲线问题的捷径.
2．双曲线的方程
（1）双曲线的标准方程（a>b>0）
x2y2①焦点在x轴上：2?2=1（a>0,b>0）;
aby2x2②焦点在y轴上：2?2=1（a>0,b>0）.
ab 由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，其步骤是：定型，定量 .涉及几个独
立的参变量，那么需要列出与参数变量个数相同的独立等式转化为解方程组来解决.当焦点位置不确定时，方程可以有两种形式，应防止遗漏. （2）中心在（x0,y0）的双曲线方程 ①焦点在直线y=y0上：
(x?x0)2(y?y0)2?=1; a2b2②焦点在直线x=x0上：
(y?y0)2(x?x0)2?=1. 22ab（3）双曲线的参数方程x=??x?asec?,(α为参数).
?y?btan?方法点拨 判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数为正的那条轴上.注意区分和椭圆相似相近的地方，两种曲线有许多共同点，但是也有许多不同点要注意比较两种曲线的定义. 问题·探究
问题1 学习双曲线的许多问题都要化做标准方程，在学习标准方程时要注意些什么？
探究:（1）把双曲线的标准位置（位置特征）与标准方程（方程特征）统一起来.如果双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么这个位置是标准位置.若使方程的右边为1，则左边
x2y2两项中含x的项为正且分母为a，含y的项为负且分母为b，所以方程为2?2=1.
ab2
2
2
2
（2）“定量”和“定位”.要求出双曲线的标准方程，就要求出a2，b2两个“待定系数”，于是需
要两个独立的条件，按条件列出关于a2，b2的方程组，解得a2，b2的具体数值后，再按位置特征写出标准方程.因此“定量”是指a,b,c等数值的确定；“定位”则是指除了中心在原点以外，判断焦点在哪条坐标轴上，以便在使方程的右边为1时，确定方程的左边哪一项为正，哪一项为负，同时也就确定了a2,b2在方程中的位置.
问题2 有些天体运动的轨迹是圆，有些天体运动的轨迹是椭圆，天体运动的轨迹有没有可能是双曲线？运动的轨迹是有什么决定的？
探究:物理学中，每一个公式都有其各自的物理涵义.这就是数学和物理的区别.至于列F=ma解出一个椭圆，不难.但要有微积分的知识，尤其是微分方程. 可以简单讲讲过程，其实都是数学的问题：
1.建坐标系，分别在三个方向(就是x,y,z)列出万有引力公式（要知道速度是位移的导数，加速度是速度的导数，这就得到三个微分方程）
2.化简，得到轨道是一个平面.再变换几下，分别得到能量守恒与动量守恒. 3.转换成极坐标系，再解方程，得到ρ=ep（1-ecosθ）（就是解析几何中那个圆锥曲线的统一表达式）,天体运行的轨道可以是椭圆、抛物线或双曲线（取决于初始能量和初始动量）. 有些知识对我们来说还是很陌生的，但是在以后的更深层次的学习中会逐步学习到. 典题·热题
x2y2?例1 讨论=1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．
25?k9?k思路分析：由于k≠9，k≠25，则k的取值范围为k<9，9
深化升华 将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．
例2 在周长为48的直角三角形MPN中，∠MPN=90°，tanPMN=且过点P的双曲线方程．
3，求以M、N为焦点，4
思路分析：首先应建立适当的坐标系．由于M,N为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知|PM|-|PN|=2a，|MN|=2c,所以利用条件确定△MPN的边长是关键．
解：∵△MPN的周长为48，且tanPMN=
3, 4∴设|PN|=3k，|PM|=4k，则|MN|=5k．
由3k+4k+5k=48，得k=4．∴|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20．
以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系.设所求双曲线方程为
x2y2?2=1（a>0,b>0）． 2ab 由|PM|-|PN|=4，得2a=4,a=2,a2=4． 由|MN|=20，得2c=20,c=10．
x2y2? 由b=c-a=96，得所求双曲线方程为=1． 4962
2
2
方法归纳 坐标系的选取不同，则曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷．
例3 若一个动点P(x,y)到两个定点A(-1,0)、A1（1,0）的距离之差的绝对值为定值a(a≥0)，讨论点P的轨迹．
思路分析：本题的关键在于讨论a．因|AA1|=2，讨论的依据是以0和2为分界点，应讨论以下四种情况：a=0,a∈（0,2）,a=2,a>2． 解：|AA1|=2．
(1)当a=0时，轨迹是线段AA1的垂直平分线，即y轴，方程为x=0．
x2y2(2)当0 aa21?44(3)当a=2时，轨迹是两条射线y=0（x≥1）或y=0（x≤-1）． (4)当a>2时无轨迹． 误区警示 (1)本题容易出现的失误是对参变量a的取值范围划分不准确，而造成讨论不全面． (2)轨迹和轨迹方程是不同的，轨迹是图形，因此应指出所求轨迹是何种曲线． 例4 A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东6千米处，C在B正北偏西 30°，相距4千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4 s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方位角． 思路分析：点P到B、C距离相等，因此点P在线段BC的垂直平分线上．又|PB|-|PA|=4，因此P在以B、A为焦点的双曲线的右支上．由交轨法可求点P的坐标，进而求炮击的方位角． 解：如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则 B（-3,0）、A（3,0）、C（-5,23）. 因为|PB|=|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上． 因为kBC=?3,BC中点D（-4，3）， 所以直线PD：y?3?13（x+4） ① 又|PB|-|PA|=4,故P在以A、B为焦点的双曲线右支上． x2y2? 设P（x,y），则双曲线方程为=1（x≥0） ② 45 联立①②式，得x=8,y=53,所以P（8,53）．因此kPA= 53?3． 8?3 故炮击的方位角为北偏东30°. 方法归纳 空间物体的定位，一般先利用声音传播的时间差建立双曲线方程，然后借助曲线的交轨来确定．这是解析几何的一个重要应用．
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