血样的分组检验 

题目： 血样分组检验的数学模型

一. 摘 要

本文主要为了解决减少血样检验次数这个实际问题,为了在人群中(数量很大, 基本上是健康人)找出某种病毒的感染者,为减少检验次数(目的是降低费用) ,通常采用筛选的办法：即假设人群总数为n, 将人群分成m组,每组的人数为k,将每组的k份血样混在一起进行化验, 若化验结果呈阳性,则需要对该组的每个人重新进行化验, 以确定谁是病毒感染者;若化验结果呈阴性, 则表明该组全体成员均为阴性,不需要重新化验。通过把人群分为若干组,每组若干人,易得到混合血样检验次数,阳性组的概率,进而引入阳性组数的平均值,从而得到平均总检验次数,最后通过一个人的平均检验次数的一元函数,把问题归结为一个关于每组人数k的一元函数E(k) ,求解得E(k)=kp+1/k;通过计算,

当p>时不应分组;将第1次检验的每个阳性组再次分m组,通过建立一个关于k,m的二元函数E(k,m),通过求导得稳定点函数,解方程组得:k=1/m=p -1/2

关键词:先验概率; 平均总检验次数; 血样的 阴阳性; 组的基数

二. 问题的提出

在人群（数量很大）中进行血样检验，设已知先验阳性率为 p, 为减少检验次数将人群分组。

若 k人一组，当 k份血样混在一起时，只要一份呈阳性，这组血样就呈阳性，则该组需人人检验；若一组血样呈阴性，则该组不需检验

在一个很大的人群中，通过血样检验普查某种疾病,假定血样为阳性的先验概率为p(通常p很小).为减少检验次数,将人群分组,一组人的血样混合在一起化验.当某组的混合血样呈阴性时,即可不经检验就判定该组每个人的血样都为阴性;而当某组的混合血样呈阳性时,则可判定该组至少有一人血样为阳性,于是需要对这组的每个人再作检验.

(1),当p固定时(如%,…,%,…,1%)如何分组,即多少人一组,可使平均总检验次数最少,与不分组的情况比较.

(2),当p多大时不应分组检验.

(3), 讨论两次分组的情况，即阳性组再分组检验。 （4），讨论其它分组方案，如半分法、三分法。

三.基本假设

血样检查到为阳性的则患有某种疾病,血样呈阴性时的情况为正常

血样检验时仅会出现阴性,阳性两种情况,除此之外无其它情况出现,检验血样的药剂灵敏度很高,不会因为血样组数的增大而受影响. 阳性血样与阳性血样混合也为阳性 阳性血样与阴性血样混合也为阳性 阴性血样与阴性血样混合为阴性

四.符号说明

变量：n ：检验人群总数 p ：阳性的先验概率 K:每组的人数 q:阴性先验概率q=1-p

L:为一次分组没人的化验次数的最小值 X:一次分组每人的化验次数 M:组数

E(x):X的数学期望，即均值

血样检验为阳性(患有某种疾病)的人数为:z=np

发生概率:Pi,i=1,2,.....,x 检查次数:Ri,i=1,2,......x

平均总检验次数:

N??RiPii?1x

五. 问题的分析

根据题意,由已知的先验概率是一个很小的数值,我们大可不必要一个一个地检验,为减少检验次数,我们通过一次分组,从而可使检验次数大大减少;然而通过再一次分组,可使结果进一步优化,从而达到一个更佳的结果.由基本假设有p + q = 1,且被测人群全体n为定值,所以为使验血次数最少只需使平均每人的验血次数最少即可1对每一分组的检测结果只有两种结果, 若血样为阴性则只需验这一次, 概率为qk , 否则需验k＋1次,概率为1 - qk 1人群全体n中每人的平均需验次数为X 的均值, 需要考虑的问题是: ①在0 < q < 1的范围内含参数q的函数是否存在极值点; ②q在什么范围内才能使分组验血实际有效。

六， 模型建立与求解

设总人数为n,已知每人血样阳性的先验概率为p,记血样阴性的概率q=1-p 模型一：

设分x组,每组k人(n很大,x能整除n,k=n/x),混合血样检验x次.阳性组的概率为P1=1-qk,分组时是随机的,而且每个组的血样为阳性的机率是均等的,阳性组数的平均值为xp1,这些组的成员需逐一检验,平均次数为kxp1,所以平均检验次数N=x+kxp1,一个人的平均检验次数为N/n。记作:E(k)=1/k+1-qk=1/k+1-(1-p)k (1)问题是给定p求k使E(k)最小.

p很小时利用可得(1-p)k=1-kp得E（k）=1/k+kp (2)

显然k=p-1/2时E(k)最小.因为K需为整数,所以应取k={p-1/2}和k=(p-1/2)+1,比较E(K),得到K的

最优值,见表1.

P (%) % % 1% 2% 5% K 100 32 10 8 5 E(k) 表1 一次分组检验结果 图一

当p=%时,可用MATLAB模拟出E(k)=1/k+×k的图像如图一,曲线是关于k的图像.

图形一 2），下图一是关于p和k的关系图（p=%）