【考点】矩形的性质；角平分线的性质．
【分析】（1）由折叠性质得∠MAN=∠DAM，证出∠DAM=∠MAN=∠NAB，由三角函数得出DM=AD?tan∠DAM=
即可；
（2）延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4，AQ=5，即可求出△ABN的面积；
（3）过点A作AH⊥BF于点H，证明△ABH∽△BFC，得出对应边成比例
=
，得出当点N、
H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，由折叠性质得：AD=AH，由AAS证明△ABH≌△BFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出结果．
【解答】解：（1）由折叠性质得：△ANM≌△ADM， ∴∠MAN=∠DAM，
∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB， ∴∠DAM=∠MAN=∠NAB， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°， ∴∠DAM=30°，
∴DM=AD?tan∠DAM=3×tan30°=3×
=
；
（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DC， ∴∠DMA=∠MAQ，
由折叠性质得：△ANM≌△ADM， ∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1， ∴∠MAQ=∠AMQ，
21
∴MQ=AQ，
设NQ=x，则AQ=MQ=1+x， ∵∠ANM=90°， ∴∠ANQ=90°，
在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ=AN+NQ， ∴（x+1）=3+x， 解得：x=4， ∴NQ=4，AQ=5， ∵AB=4，AQ=5，
∴S△NAB=S△NAQ=×AN?NQ=××3×4=
；
2
2
2
2
2
2
（3）过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DC， ∴∠HBA=∠BFC， ∵∠AHB=∠BCF=90°， ∴△ABH∽△BFC， ∴
=
，
∵AH≤AN=3，AB=4，
∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图3所示： 由折叠性质得：AD=AH， ∵AD=BC， ∴AH=BC，
在△ABH和△BFC中，∴△ABH≌△BFC（AAS）， ∴CF=BH， 由勾股定理得：BH=∴CF=
，
==，
，
22
∴DF的最大值=DC﹣CF=4﹣．
23
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