2018年北京市春季普通高中会考数学答案

2018年北京市春季普通高中会考

数学试卷答案及评分参考

[说明]

1. 第一部分选择题，机读阅卷.

2. 第二部分解答题. 为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明

主要过程即可. 若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

第一部分 选择题 (每小题3分，共75分)

题号 答案 题号 答案 题号 答案 1 B 10 A 19 A 2 C 11 B 20 B 3 C 12 D 21 A 4 A 13 D 22 C 5 A 14 C 23 C 6 B 15 B 24 C 7 B 16 D 25 B 8 D 17 B 9 B 18 B ——— 第二部分 解答题 (每小题5分，共25分)

26.（本小题满分5分）

已知函数f(x)?1?2sin2x．

（Ⅰ）f()? ；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上） ．．．（Ⅱ）求函数f(x)在区间[?（Ⅰ）解：f()?????,]上的最大值和最小值. 461． …………………2分 2（Ⅱ）解：由题意得 f(x)?cos2x. ????,].

4623??于是当2x??，即x??时，f(x)取得最小值0；

2?因为x?[?,]，所以2x?[?当2x?0，即x?0时，f(x)取得最大值1. …………………5分

??数学试卷答案及评分参考第1页 （共4页）

27.（本小题满分5分）

如图，在三棱锥P?ABC中，PB?BC，AC?BC， 点E，F，G分别为AB，BC，PC的中点． （Ⅰ）求证：PB∥平面EFG； （Ⅱ）求证：BC?EG．

（Ⅰ）证明：因为点F，G分别是BC，PC的中点， 所以GF∥PB． 因为PB?平面EFG，GF?平面EFG，

所以PB∥平面EFG． …………………2分 （Ⅱ）证明：因为点E，F分别是AB，BC的中点， 所以EF∥AC. 因为AC?BC，

所以EF?BC． 由（Ⅰ）知GF∥PB， 因为PB?BC，

所以BC?GF． 又因为EFGF?F,

所以BC?平面EFG.

所以BC?EG． …………………5分 28.（本小题满分5分）

已知数列{an}是等比数列，且a1?1，公比q?2. 8（Ⅰ）数列{an}的通项公式为an? ；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上） ．．．（Ⅱ）数列{bn}满足bn?log2an(n?N*)，求数列{bn}的前n项和Sn的最小值． （Ⅰ）解：an?2n?4． …………………2分 （Ⅱ）解：因为bn?log2an?log22n?4?n?4， 所以数列{bn}是以?3为首项，1为公差的等差数列． 所以Sn??3n?n(n?1)121749?(n?7n)?(n?)2?． 22228 又因为n?N*，

所以当n?3或n?4时，Sn的最小值为?6． …………………5分

数学试卷答案及评分参考第2页 （共4页）

29.（本小题满分5分）

已知圆M：2x2?2y2?6x?1?0.

（Ⅰ）圆M的圆心坐标为 ；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上） ．．．

（Ⅱ）设直线l过点A(0,2)且与x轴交于点D，与圆M在第一象限的部分交于两点B，

C.若O为坐标原点，△OAB与△OCD的面积相等，求直线l的斜率.

（Ⅰ）解：圆M的圆心坐标为(3,0). …………………1分 2（Ⅱ）解：设B(x1,y1)，C(x2,y2)，直线l的方程为y?kx?2.

?y?kx?2,由?2 得(2k2?2)x2?(8k?6)x?9?0. 2?2x?2y?6x?1?0所以x1?x2?3?4k. k2?1由已知可得，“△OAB与△OCD的面积相等”与“AB?CD”等价. 此时，线段AD与线段BC的中点重合. 线段BC中点的横坐标为

x1?x23?4k， ?222k?22， k因为点D为直线y?kx?2与x轴的交点，可得点D的横坐标为?所以线段AD中点的横坐标为?所以

1. k3?4k122k?3k?2?0， ，即??22k?2k1解得k?2，或k??.

21经检验k??符合题意.

21所以直线l的斜率为?. …………………5分

230.（本小题满分5分）

同学们，你们是否注意到: 在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道的电缆. 这些现象中都有相似的曲线形态. 事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线. 悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.下面我们来研究一类与悬链线有关的函数，这类函数的

数学试卷答案及评分参考第3页 （共4页）

表达式为f(x)?aex?be?x（其中a,b是非零常数，无理数e?2.71828???）. （Ⅰ）当a?1，f(x)为偶函数时，b? ；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上） ．．．（Ⅱ）如果f(x)为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a,b的值 ；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上） ．．．

（Ⅲ）如果f(x)的最小值为2，求a?b的最小值.

（Ⅰ）解：b?1 ． …………………1分 （Ⅱ）解：此答案不唯一，只要满足 ab?0即可． …………………3分 （Ⅲ）解：因为f(x)?aex?be?x的最小值为2， 令 t?ex，则有y?at?b(t?0)的最小值为2， t所以at?≥2对t?0恒成立，且等号可以取到. 即at2?2t?b≥0对t?0恒成立，且等号可以取到.

bt?a?0,由二次函数性质，得到?

???4?4ab?0.所以ab?1.

根据均值定理，a?b≥2ab?2，当且仅当a?b?1时等号成立，

所以a?b的最小值为2. …………………5分

数学试卷答案及评分参考第4页 （共4页）