微探究 正方体趣题赏析

微探究 正方体趣题赏析

正方体是一个完美图形，它具有矩形、菱形的一切性质，是轴对称图形，又是中心对称图形，既有内切圆又有外接圆，且两圆的中心都与正方形的对角线交点重合.与正方形相关的问题内容妙趣横生、新颖别致，解题中常运用全等与几何变换的方法.

一、剪拼与正方形

1、在西方，有不少关于“红十字”的难题.如图，请恰当地剪一剪，把红十字拼成正方形.

视野窗 如图，已知正方形ABCD所在平面有点P，使得△PAB、△PBC、△PCD、△PAD都为等腰三角形，这样的P点有几个？

二、对称与正方形

2、正方形、等边三角形是常见的轴对称图形.如图，设有一个边长为1的正方形ABCD，试在这个正方形中找出一个面积最大的和一个面积最小的内接等边三角形，并求出这两个图形的面积.

三、旋转与正方形

把共顶点的两个正方形的一个绕一点旋转到一定位置，探究图形的几何性质，为我们提供一个动态的数学环境.

3、如图，已知四边形ABCD、AEFG都是正方形，连接BG、DE，BG与DE、AD分别交于点M、N，则：

（1）BG=DE，BG⊥DE； （2）AN?ND?BN?NM；

（3）如图1，若∠BAE=90°，则AM=AN； 如图2，若?BAE?0?，连接BE、DG，则

S?ABE?S?ADG.

四、形外形

4、以△ABC的AB、AC边为边向形外分别作正方形ABDE、ACFG. （1）如图1，若AM为中线，则EG=2AM，AM⊥EG；

（2）如图2，作AM⊥BC并延长MA交EG于N点，则EN=GN；AN=

1BC. 2

五、45°与正方形

5、如图，已知正方形ABCD中，?MAN?45?，连接BD与AM、AN分别交于E、F点，则：

（1）MN?BM?DN；

（2）△CMN的周长等于正方形边长的2倍； （3）EF2?BE2?DF2；

（4）点A到MN的距离等于正方形的边长； （5）△AEN、△AFM都为等腰直角三角形； （6）S△AMN=2S△AEF；

（7）S正方形ABCD：S△AMN?2AB:MN； （8）设AB?a，MN?b，则

b?22?2. a