图4
v22Mm
在轨道Ⅱ上有G2＝m.
rr
减速则引力大于所需向心力，做近心运动，进入Ⅰ轨道，加速则引力小于所需向心力，做离心运动，进入Ⅲ轨道．所以三个轨道经过P点的速度vⅠ、vⅡ、vⅢ的关系为vⅢ>vⅡ>vⅠ. 2．变轨时能量变化特点：
变轨时需要中心天体引力之外的力参与，所以机械能不守恒，轨道升高时(需加速)机械能增加，轨道降低时(需减速)机械能减小．
(2018·湖北省黄冈市质检)卫星发射进入预定轨道往往需要进行多次轨道调整．如图5所示，某次发射任务中先将卫星送至近地轨道，然后再控制卫星进入椭圆轨道．图中O点为地心，A点是近地轨道和椭圆轨道的交点，远地点B离地面高度为6R(R为地球半径)．设卫星在近地轨道运动的周期为T，下列对卫星在椭圆轨道上运动的分析，其中正确的是( )
图5
A．控制卫星从图中低轨道进入椭圆轨道需要使卫星减速 B．卫星通过A点时的速度是通过B点时速度的6倍 C．卫星通过A点时的加速度是通过B点时加速度的6倍 D．卫星从A点经4T的时间刚好能到达B点 答案 D
7.(多选)(2018·安徽省蚌埠市一质检)如图6所示，从地面上A点发射一枚远程弹道导弹，沿ACB椭圆轨道飞行击中地面目标B，C为轨道的远地点，距地面高度为h，已知地球半径为R，地球质量为M，引力常量为G，不计空气阻力，则下列结论正确的是( )
图6
A．导弹在C点的速度大于
GM R＋h
GM
B．导弹在C点的加速度等于 ?R＋h?2C．导弹从A点运动到B点的时间为2π(R＋h)D．地球球心为导弹椭圆轨道的一个焦点 答案 BD
解析 对在C点处的圆轨道上运行的物体，根据万有引力提供向心力得：＝，
?R＋h?2R＋h则v＝
，导弹在C点只有加速才能进入圆轨道， R＋h
，故A错误； R＋hGM
GM
GMm
mv2
R＋h
GM
所以导弹在C点的速度小于Mm
导弹在C点受到的万有引力F＝G，
?R＋h?2FGM
所以a＝＝，故B正确；
m?R＋h?2
r3
根据开普勒第三定律，2＝k，椭圆轨道的半长轴小于圆轨道的半径，所以在椭圆轨道上运行
T的周期小于在圆轨道上运行的周期T＝2π
?R＋h?3
，所以导弹从A点运动到B点的时间一GM
定小于圆轨道上的周期，故C错误；导弹做的是椭圆运动，地球球心位于椭圆的焦点上，故D正确．
考点5 双星、多星问题
1．双星问题
双星各自做圆周运动的向心力由两者之间的万有引力提供，即Gm1＋m22
另：G2＝ω(r1＋r2) ?r1＋r2?ω2?r1＋r2?3双星总质量：m1＋m2＝. G
m1m222
2＝m1ωr1＝m2ωr2， ?r1＋r2?
2．多星问题
分析向心力来源是关键：一般是多个星球对它的万有引力的合力提供向心力．
(多选)(2018·安徽省滁州市联合质检)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转，称之为双星系统．在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统．设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图7所示．若AO>OB，则( )
图7
A．星球A的质量一定小于星球B的质量 B．星球A的线速度一定小于星球B的线速度
C．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大 D．双星的质量一定，双星间距离越大，其转动周期越大 答案 AD
解析 双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，根据万有引力提供向心力mAmB得：G2＝mArAω2＝mBrBω2，因为AO＞OB，所以mA＜mB，即A的质量一定小于B的质
L量，故A正确；双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，根据v＝ωr可知，mAmB星球A的线速度一定大于星球B的线速度，故B错误；根据万有引力提供向心力得：G2L4π24π2
＝mA2rA＝mB2rB，解得T＝2πL
TT
LG?mA＋mB?
，由此可知双星间距离一定，双星的总质量
L
越大，转动周期越小，故C错误；根据T＝2πL，可知，若双星的质量一定，G?mA＋mB?
双星之间的距离越大，其转动周期越大，故D正确．
8．(多选)(2018·广东省高考第一次模拟)天文观测中心观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动，如图8所示．已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是( )
图8
A．三颗星的质量可能不相等 4π2l3
B．某颗星的质量为
3GT223πl
C．它们的线速度大小均为 T16π4l4
D．它们两两之间的万有引力大小为 9GT4答案 BD
l23
解析 轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r＝＝l.根据题意可知其中任意两颗
cos 30°3星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到m2
第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m，则2G2l4π234π2l3m2
cos 30°＝m·2·l，解得m＝，它们两两之间的万有引力F＝G2＝G
T33GT2l2πr2π323πl
A错误，B、D正确；线速度大小为v＝＝·l＝，C错误．
TT33T
?4πl2?2
?3GT?16π4l4
l2＝9GT423
，
1．(2018·广东省潮州市下学期综合测试)北京中心位于北纬39°54′，东经116°25′.有一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星，每天上午同一时间在北京中心正上方对北京拍照进行环境监测．则( )
A．该卫星是地球同步卫星
B．该卫星轨道平面与北纬39°54′所确定的平面共面 C．该卫星运行周期一定是地球自转周期的整数倍 D．地球自转周期一定是该卫星运行周期的整数倍 答案 D
解析 由于卫星每天上午同一时刻在该区域的正上方拍照，所以地球自转一周，则该卫星绕地球做圆周运动N周，故A错误；即地球自转周期一定是该卫星运行周期的整数倍，故D正确，C错误；若卫星平面与北纬39°54′所确定的平面共面，则地心不在轨道平面内，万有引力指向地心，故不能满足万有引力提供做圆周运动向心力的要求，故B错误． 2．(2018·湖北省黄冈市检测)“嫦娥四号”被专家称为“四号星”，是嫦娥探月工程计划中嫦
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