3．三角函数（1）
1．已知tan???2，tan??????1，则tan?的值为_______. 3 7sin2A? ． 1 sinCπ
3．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向右
2
2．在△ABC中，a?4，b?5，c?6，则
ππ平移个单位后，得到的图象解析式为 . y＝sin(2x－) 66
4．在?ABC中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，已知?ABC的面积为315 ，
1b?c?2,cosA??, 则a的值为 . 8
4
2－3→→1
5．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且tan B＝222，BC·BA＝，2a－b＋c则tan B等于 . 2－3
6．直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正4
切值等于________． 3
7．已知锐角A,B满足tan(A?B)?2tanA，则tanB的最大值是 ．
πx22
8．设函数f(x)＝3sin，若存在f(x)的极值点x0满足x20＋[f(x0)]＜m，则m的取值范围m
是 . (－∞，－2)∪(2，＋∞)
9．在△ABC中，已知tan
A＋B
＝sin C，给出以下四个结论： 2
tan A①＝1；②1 其中一定正确的是 . ②④ 10．在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在线段AC上，AD=kAC（k为常数，且0?k?1）， l2BD?l为定长，则△ABC的面积最大值为 ． 2(1?k2) cos B2ab 11．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，满足a＝2sin A，＋＋＝0. cos Ccc(1)求边c的大小； (2)求△ABC面积的最大值． cos B2ab 思维启迪 (1)将＋＋＝0中的边化成角，然后利用和差公式求cos C，进而求c.(2) cos Ccca2＋b2－c2 只需求ab的最大值，可利用cos C＝和基本不等式求解． 2ab解 (1)∵ cos B2ab ＋＋＝0， cos Ccc ∴ccos B＋2acos C＋bcos C＝0，∴sin Ccos B＋sin Bcos C＋2sin Acos C＝0， ∴sin A＋2sin Acos C＝0， 1 ∵sin A≠0，∴cos C＝－，∵C∈(0，π) 22πa∴C＝，∴c＝·sin C＝3. 3sin A 22 1a＋b－3 (2)∵cos C＝－＝， 22ab ∴a2＋b2＋ab＝3，∴3ab≤3，即ab≤1. 133 ∴S△ABC＝absin C≤.∴△ABC的面积最大值为. 244 12．如图，在等腰直角三角形OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝22，点M在线段PQ上． (1)若OM?5，求PM的长； (2)若点N在线段MQ上，且∠MON＝30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值． 【分析】第(1)题利用余弦定理求MP的长，难度不大；第(2)题求△OMN的面积最小值，前面的要求也很明确：以∠POM为自变量，因此，本题的中点就是如何将△OMN的面积表示为∠POM的函数关系式，进而利用函数最值求解。其中，利用正弦定理将OM和ON的长表示为∠POM的函数是关键. ?1321sin?45?????sin?45????cos?45????22 ?1311?cos90??2???????4sin?90??2??4?1331?sin2??cos2?444 ??131?sin?2??30??42 因为0????60?，30??2??30??150?， 所以当??30?时，sin?2??30??的最大值为1，此时?OMN的面积取到最小值． 即?POM?30?时，△OMN的面积的最小值为8?43． π0，?. 13．已知函数f(x)＝xcos x－sin x，x∈??2? (1)求证：f(x)≤0； πsin x 0，?恒成立，求a的最大值与b的最小值． (2)若a＜＜b对x∈??2?x解：(1)证明：由f(x)＝xcos x－sin x得 f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x. ππ 0，?上f′(x)＝－xsin x＜0，所以f(x)在区间?0，?上单调递减． 因为在区间??2??2?从而f(x)≤f(0)＝0. sin xsin x (2)当x>0时，“>a”等价于“sin x－ax>0”，“ xx令g(x)＝sin x－cx，则g′(x)＝cos x－c. π 0，?恒成立． 当c≤0时，g(x)>0对任意x∈??2?ππ 0，?，g′(x)＝cos x－c<0，所以g(x)在区间?0，?上单调递当c≥1时，因为对任意x∈??2??2?减， π 0，?恒成立． 从而g(x) 0，?使得g′(x0)＝cos x0－c＝0. 当0 0，?上的情况如下： g(x)与g′(x)在区间??2? x g′(x) g(x) (0，x0) ＋ x0 0 ?x0，π? 2??－ π 0，?因为g(x)在区间(0，x0)上是增函数，所以g(x0)>g(0)＝0.进一步，“g(x)>0对任意x∈??2?π?π2 恒成立”当且仅当g?＝1－c≥0，即0 π2 0，?恒成立；当且仅当c≥1时，g(x)<0综上所述，当且仅当c≤时，g(x)>0对任意x∈??2?ππ 0，?恒成立． 对任意x∈??2?πsin x2 0，?恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1. 所以，若a<
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