(Ⅳ)当r(A)?1,r(B)?2, 方程的系数中至少有两组数如ai,bi,ci,di及
aj,bj,cj,dj满足以下关系式
aibicidi???. ajbjcjdj上式表示平面
aix?biy?ciz?di?0,ajx?bjy?cjz?dj?0.
平行但不相合. 也就是平面组中n个平面相合或平行, 至少有两个平面不相合. (Ⅴ)r(A)?2,r(B)?2, 则矩阵A及B中所有三阶行列式全是0, 至少有一个二阶行列式不是0. 假设
a1a2我们必可求得li,mi,ni适合下式：
b1b2?0.
?lia1?mia2?niai?0,?lb?mb?nb?0,?i1i2ii??lic1?mic2?nici?0,??lid1?mid2?nidi?0.(i?3,4,?,n)
式中ni?0, 否则行列式
a1a2将等于0. 所以
b1 b2aix?biy?ciz?dit??以上等式表示平面
1?li(a1x?b1y?c1z?d1)?mi(a2x?b2y?c2z?d2)?. niaix?biy?ciz?di?0,经过直线
(i?3,4,?,n).
?a1x?b1y?c1z?d1?0, ??a2x?b2y?c2z?d2?0,第5页,共15页
就是n个平面全经过一条直线. （Ⅵ）当r(A)?2,r(B)?3, 并假定
a1a2b1b2?0
方程组的系数至少有一组ai,bi,ci,di适合以下关系：
a1a2aib1b2bic1a1b1b2bic1c2?0（i是3,4,?,n中的一数） cic2?0,a2ciai以上第一个等式表示组中第i平面
aix?biy?ciz?di?0,
与直线
?a1x?b1y?c1z?d1?0, ?ax?by?cz?d?0,222?2平行. 又因第二个不等式表示第i平面不经过上述直线, 所以n个平面有平行的交线.例如由方程组
?a1x?b1y?c1z?d1t?0,??a2x?b2y?c2z?d2t?0, ?ax?by?cz?dt?0,iii?i解得
b1b2b3因为行列式
xc1c2c3d1d2d3?c1?c2c3yd1d2d3a1a2a3?d1d2d3za1a2a3b1b2b3?a1?a2a3tb1b2b3c1c2c3.
a1a2ab1b2b3c1c2?0. c3而其它三个行列式不全是零故t?0, 就是三个平面的交点在无穷远. 三个平面中每两个平面的交线是平行的.
（Ⅶ）当r(A)?3,r(B)?3, 并假定
第6页,共15页
a1a2a3在这种情况下, 平面
b1b2b3c1c2?0. c3?a1x?b1y?c1z?d1t?0,??a2x?b2y?c2z?d2t?0, ??a3x?b3y?c3z?d3t?0,相交于一点. 又因
a1b1c1d1a2b2c2d2a3b3c3d?0,（i?4,5,?,n） 3aibicidi故平面
aix?biy?ciz?di?0
经过前面三个平面的交点, 就是n个平面有一个交点, 不在无穷远.
（Ⅷ）当r(A)?3,r(B)?4, 则矩阵B中至少有一个四阶行列式不等于零. a1b1c1d1a2b2c2d2a3b3c3d?0.（i是4,5,?,n中的一数） 3aibicidi以上不等式表示平面
aix?biy?ciz?di?0,
不经过前三个平面的交点.
第7页,共15页
假设
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