坐标系与参数方程
?π?1.在极坐标系中,过点?2,?且与极轴平行的直线方程是( )
2??
A.ρ=2
π
B.θ= C.ρcos θ=2
2
D.ρsin θ=2
?π?解析 先将极坐标化成直角坐标表示,?2,?化为(0,2),过(0,2)且平行于x轴的直线为y=2,再化成
2??
极坐标表示,即ρsin θ=2.故选D. 答案 D
2.在直角坐标系xOy中,已知点C(-3,-3),若以O为极点,x轴的正半轴为极轴,则点C的极坐标(ρ,θ)(ρ>0,-π<θ<0)可写为________. 5π
解析 依题意知,ρ=23,θ=-. 65π??答案 ?23,-? 6??
3.在直角坐标系xOy中,已知曲线C??x=sinα,
的参数方程是?
??y=cosα+1
(α为参数),若以O为极点,x轴的
正半轴为极轴,则曲线C的极坐标方程可写为________. 答案 23
π??π??12.在极坐标系中,点M?4,?到曲线ρcos?θ-?=2上的点的距离的最小值为________.
3?3???解析 依题意知,点M的直角坐标是(2,23),曲线的直角坐标方程是x+3y-4=0,因此所求的距离的|2+23×3-4|
最小值等于点M到该直线的距离,即为=2. 22
1+(3)答案 2
??x=2t+2a,
13.在平面直角坐标系下,曲线C1:?(t为参数),
?y=-t?
??x=2sin θ,
曲线C2:?(θ为参数),若曲线C1,C2有公共点,则实数a的取值范围是________.
?y=1+2cos θ?
解析 曲线C1的直角坐标方程为x+2y-2a=0,
曲线C2的直角坐标方程为x+(y-1)=4,圆心为(0,1),半径为2, 若曲线C1,C2有公共点,
|2-2a|
则有圆心到直线的距离≤2, 2
1+2
1
2
2
即|a-1|≤5, ∴1-5≤a≤1+5,
即实数a的取值范围是[1-5,1+5]. 答案 [1-5,1+5]
?x=2cos t,
14.已知曲线C的参数方程为?(t为参数),曲线C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为
?y=2sin t极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为________.
??x=-2+cos θ,y15.已知点P(x,y)在曲线?(θ为参数,θ∈R)上,则的取值范围是________.
x?y=sin θ?
解析 消去参数θ得曲线的标准方程为(x+2)+y=1, 圆心为(-2,0),半径为1. 设=k,则直线y=kx,
即kx-y=0,当直线与圆相切时,圆心到直线的距离d=即|2k|=k+1,平方得
13222
4k=k+1,k=,解得k=±,
33由图形知k的取值范围是-即的取值范围是?-答案 ?-
33
≤k≤, 33
2
22
yx|-2k|
k2+1
=1,
yx??33?,?. 33?
?
?33?,? 33?
??x=2+2cos θ,
16.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程是?(θ为参数).
?y=2sin θ?
(1)将C1的方程化为普通方程;
π
(2)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设曲线C2的极坐标方程是θ=,求曲线C1与C2的交
3点的极坐标.
解 (1)C1的普通方程为(x-2)+y=4. (2)设C1的圆心为A,∵原点O在圆上, 设C1与C2相交于O,B,取线段OB的中点C,
2
2
2
π
∵直线OB倾斜角为,OA=2,
3∴OC=1,从而OB=2,
?π?∴O,B的极坐标分别为O(0,0),B?2,?.
3??
???x=-2+cos t,?x=4cos θ,
?17.已知曲线C1:(t为参数),C2:?(θ为参数). ?y=1+sin t?y=3sin θ??
(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
π
(2)过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l交曲线C1于A,B两点,求|AB|的值.
4
18.在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρsinθ=2acos 2
?x=-2+t,?2
θ(a>0),已知过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为:?(t为参数),直线l与曲线C分
2
y=-4+t??2别交于M,N两点.
(1)写出曲线C和直线l的普通方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值. 解 (1)y=2ax,y=x-2.
2
?x=-2+t,?2
(2)直线l的参数方程为?(t为参数),
2
??y=-4+2t代入y=2ax,得到t-22(4+a)t+8(4+a)=0,则有t1+t2=22(4+a),t1·t2=8(4+a), ∵|MN|=|PM|·|PN|,
∴(t1-t2)=(t1+t2)-4t1·t2=t1·t2, 即a+3a-4=0.解得a=1或a=-4(舍去). 19.在直角坐标系xOy中,曲线M的参数方程为
2
2
2
22
2
2
2
?x=3cosα+sinα
?
?y=23sinαcosα-2sin2α+2
(α为参数),若以直角坐标系中的原点O为极点,x轴的正半轴为极
π?2?轴建立极坐标系,曲线N的极坐标方程为ρsin?θ+?=t(t为参数). 4?2?(1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程;
3
(2)若曲线N与曲线M有公共点,求t的取值范围.
解 (1)由x=3cosα+sinα得x=(3cosα+sinα)=2cosα+23sinαcosα+1, 所以曲线M可化为y=x-1,x∈[-2,2],
π?2222?由ρsin?θ+?=t得ρsinθ+ρcosθ=t, 4?2222?所以ρsinθ+ρcosθ=t,所以曲线N可化为x+y=t.
(2)若曲线M,N有公共点,则当直线N过点(2,3)时满足要求,此时t=5,并且向左下方平行移动直到相切2
2
2
2
之前总有公共点,相切时仍然只有一个公共点,
联立???x+y=t,
2
?y=x2
x-1-t=0,
?
-1,
得x+由Δ=1+4(1+t)=0,解得t=-54.
即|OP||OQ|的取值范围是[2,3].
4
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