坐标系与参数方程
?π?1．在极坐标系中，过点?2，?且与极轴平行的直线方程是( )
2??
A．ρ＝2
π
B．θ＝ C．ρcos θ＝2
2
D．ρsin θ＝2
?π?解析 先将极坐标化成直角坐标表示，?2，?化为(0，2)，过(0，2)且平行于x轴的直线为y＝2，再化成
2??
极坐标表示，即ρsin θ＝2.故选D. 答案 D
2．在直角坐标系xOy中，已知点C(－3，－3)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则点C的极坐标(ρ，θ)(ρ>0，－π<θ<0)可写为________． 5π
解析 依题意知，ρ＝23，θ＝－. 65π??答案 ?23，－? 6??
3．在直角坐标系xOy中，已知曲线C??x＝sinα，
的参数方程是?
??y＝cosα＋1
(α为参数)，若以O为极点，x轴的
正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为________． 答案 23
π??π??12．在极坐标系中，点M?4，?到曲线ρcos?θ－?＝2上的点的距离的最小值为________．
3?3???解析 依题意知，点M的直角坐标是(2，23)，曲线的直角坐标方程是x＋3y－4＝0，因此所求的距离的|2＋23×3－4|
最小值等于点M到该直线的距离，即为＝2. 22
1＋（3）答案 2
??x＝2t＋2a，
13．在平面直角坐标系下，曲线C1：?(t为参数)，
?y＝－t?
??x＝2sin θ，
曲线C2：?(θ为参数)，若曲线C1，C2有公共点，则实数a的取值范围是________．
?y＝1＋2cos θ?
解析 曲线C1的直角坐标方程为x＋2y－2a＝0，
曲线C2的直角坐标方程为x＋(y－1)＝4，圆心为(0，1)，半径为2， 若曲线C1，C2有公共点，
|2－2a|
则有圆心到直线的距离≤2， 2
1＋2
1
2
2
即|a－1|≤5， ∴1－5≤a≤1＋5，
即实数a的取值范围是[1－5，1＋5]． 答案 [1－5，1＋5]
?x＝2cos t，
14．已知曲线C的参数方程为?(t为参数)，曲线C在点(1，1)处的切线为l，以坐标原点为
?y＝2sin t极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．
??x＝－2＋cos θ，y15．已知点P(x，y)在曲线?(θ为参数，θ∈R)上，则的取值范围是________．
x?y＝sin θ?
解析 消去参数θ得曲线的标准方程为(x＋2)＋y＝1， 圆心为(－2，0)，半径为1. 设＝k，则直线y＝kx，
即kx－y＝0，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d＝即|2k|＝k＋1，平方得
13222
4k＝k＋1，k＝，解得k＝±，
33由图形知k的取值范围是－即的取值范围是?－答案 ?－
33
≤k≤， 33
2
22
yx|－2k|
k2＋1
＝1，
yx??33?，?. 33?
?
?33?，? 33?
??x＝2＋2cos θ，
16．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是?(θ为参数)．
?y＝2sin θ?
(1)将C1的方程化为普通方程；
π
(2)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C2的极坐标方程是θ＝，求曲线C1与C2的交
3点的极坐标．
解 (1)C1的普通方程为(x－2)＋y＝4. (2)设C1的圆心为A，∵原点O在圆上， 设C1与C2相交于O，B，取线段OB的中点C，
2
2
2
π
∵直线OB倾斜角为，OA＝2，
3∴OC＝1，从而OB＝2，
?π?∴O，B的极坐标分别为O(0，0)，B?2，?.
3??
???x＝－2＋cos t，?x＝4cos θ，
?17．已知曲线C1：(t为参数)，C2：?(θ为参数)． ?y＝1＋sin t?y＝3sin θ??
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
π
(2)过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l交曲线C1于A，B两点，求|AB|的值．
4
18．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsinθ＝2acos 2
?x＝－2＋t，?2
θ(a>0)，已知过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为：?(t为参数)，直线l与曲线C分
2
y＝－4＋t??2别交于M，N两点．
(1)写出曲线C和直线l的普通方程；
(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值． 解 (1)y＝2ax，y＝x－2.
2
?x＝－2＋t，?2
(2)直线l的参数方程为?(t为参数)，
2
??y＝－4＋2t代入y＝2ax，得到t－22(4＋a)t＋8(4＋a)＝0，则有t1＋t2＝22(4＋a)，t1·t2＝8(4＋a)， ∵|MN|＝|PM|·|PN|，
∴(t1－t2)＝(t1＋t2)－4t1·t2＝t1·t2， 即a＋3a－4＝0.解得a＝1或a＝－4(舍去)． 19．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为
2
2
2
22
2
2
2
?x＝3cosα＋sinα
?
?y＝23sinαcosα－2sin2α＋2
(α为参数)，若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极
π?2?轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin?θ＋?＝t(t为参数)． 4?2?(1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程；
3
(2)若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．
解 (1)由x＝3cosα＋sinα得x＝(3cosα＋sinα)＝2cosα＋23sinαcosα＋1， 所以曲线M可化为y＝x－1，x∈[－2,2]，
π?2222?由ρsin?θ＋?＝t得ρsinθ＋ρcosθ＝t， 4?2222?所以ρsinθ＋ρcosθ＝t，所以曲线N可化为x＋y＝t.
(2)若曲线M，N有公共点，则当直线N过点(2,3)时满足要求，此时t＝5，并且向左下方平行移动直到相切2
2
2
2
之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，
联立???x＋y＝t，
2
?y＝x2
x－1－t＝0，
?
－1，
得x＋由Δ＝1＋4(1＋t)＝0，解得t＝－54.
即|OP||OQ|的取值范围是[2,3]．
4
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