新人教A版高中数学必修4限时规范训练
1.6 三角函数模型的简单应用
1
1．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙点的位
2置将处于图中的( )
A．甲 C．丙 【答案】D
π??2．电流强度I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的关系式是I＝5sin?100πt＋?，则当3??
B．乙 D．丁
t＝
1
s时，电流强度I为( ) 200
A．5A C．2A 【答案】B 【解析】将t＝
π?1?代入I＝5sin?100πt＋?，得I＝2.5 A． 3?200?
B．2.5A D．－5A
3．如图，一个半径为10 m的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮中心为点O且O到水面的距离为5 m，水轮上的点P到水面的距离为d(单位：m)(P在水面下则d为负数)，如果d(单位：m)与时间t(单位：s)之间满足关系式：d＝Asin(ω t＋φ)＋ππ??k?A＞0，ω＞0，－＜φ＜? 且当点P从水面上浮现时开始计算时间，那么以下结论中错
?
2
2?
误的是( )
A．A＝10 π
C．φ＝
6
2π
B．ω＝
15D．k＝5
- 1 -
【答案】C 【解析】由图可知d??A＋k＝15，
的最大值为15，最小值为－5，即?
??－A＋k＝－5，
解得A＝10，k＝5.∵每分钟转4圈，∴函数的周期为15 s，故ω＝π
即10 sin φ＝－5，可得φ＝－.故选C．
6
2π
.依题意，可知当t＝0时，d＝0，15
4．(2018年河南一模)据市场调查，某种商品一年内每年出厂价在7万元的基础上，按月π??呈f(x)＝A sin(ωx＋φ)＋b?A>0，ω>0，|φ|
?ππ?*
A．f(x)＝2sin?x－?＋7(1≤x≤12，x∈N)
4??4?ππ?*
B．f(x)＝9sin?x－?(1≤x≤12，x∈N)
4??4
π*
C．f(x)＝22sinx＋7(1≤x≤12，x∈N)
4
?ππ?*
D．f(x)＝2sin?x＋?＋7(1≤x≤12，x∈N)
4??4
【答案】A
9－52ππ
【解析】由题意，得A＝＝2，b＝7.周期＝2×(7－3)＝8，∴ω＝.当x＝3时，
2ω4
y＝9，即2sin?
3πππ?3π＋φ?＋7＝9，?3π＋φ?＝1，∴sin?＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．∵|φ|<，??422?4??4?
π?ππ?*
∴φ＝－.∴f(x)＝2sin?x－?＋7(1≤x≤12，x∈N)．
4?4?4
5．心脏跳动时，血压在增加或减小，心脏每完成一次跳动，血压就完成一次改变，已知某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳次数为________．
【答案】80
2π11
【解析】∵f(t)＝24sin 160πt＋110，∴T＝＝，∴此人每分钟心跳次数为f＝
160π80T＝80.
6．(2018年陕西延安黄陵中学期末)某地一天的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.其中6时达到最低温度，14时达到最高温度，函数的部分曲线如图．
- 2 -
(1)求这一天的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式．
【解析】(1)由图象可知，最大温差为30－10＝20(℃)．
(2)从图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，11
所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20.
22
12ππ∵×＝14－6，∴ω＝. 2ω8
3π将x＝6，y＝10代入上式，解得φ＝. 4
?π3π?综上，所求解析式为y＝10sin?x＋?＋20，x∈[6,14]．
4??8
7．如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面高度满足y＝Asin(ωt＋φ)＋b，φ∈[－π，π]，已知某摩天轮的半径为50米，点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处．
(1)根据条件写出y(单位：m)关于t(单位：min)的解析式； (2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85米？
【解析】(1)由题意，A＝50，b＝60，T＝3， 2π?2πt＋φ?＋60.
故ω＝，故y＝50sin??3?3?由50sin φ＋60＝10及φ∈[－π，π]，得φ＝－故y＝50sin?
π
， 2
?2πt－π?＋60.
2??3?
?2πt－π?＋60＞85，
2??3?
(2)在一个周期内求即可，令50sin?则sin?
?2πt－π?＞1，
2??3?2
- 3 -
故
π2ππ5π
＜t－＜，解得1＜t＜2. 6326
故在摩天轮转动的一圈内，有1分钟时间点P距离地面超过85米．
【能力提升】
8．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式是s＝3cos?度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于( )
A． πC．2 π【答案】D 【解析】因为周期T＝
2π
，所以
??gπ?
t＋?，其中g是重力加速l3?
gB．
2πD．2 4π
gggglg2πg＝＝2π，则l＝2. lT4π
9．电流强度I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图象如图所示，则t为
7
(单位：s)时的电流强度为( ) 120
A．0 A C．102 A 【答案】A
【解析】由图知，A＝10，函数的周期T＝2?
B．－52 A D．－102 A
?4－1?＝1，所以ω＝2π＝2π＝100π，?T1?300300?50
50
将点?
?1，10?代入I＝10sin(100πt＋φ)，得φ＝π，故函数解析式为I＝
?6?300?
π?7?10sin?100πt＋?，再将t＝代入函数解析式得I＝0. 6?120?
10．如图，某大风车的半径为2 m，每12 s逆时针旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(单位：s)后与地面的距离为f(t)．
(1)求函数f(t)的关系式；
(2)经过多长时间点A离地面的距离为1.5 m.
- 4 -
【解析】(1)设f(t)＝Acos ωt＋b，则A＝－2，b＝2.5. ππ
又T＝12，∴ω＝.∴f(t)＝2.5－2cost，t≥0.
66ππ
(2)令2.5－2cost＝1.5，可得cost＝0.5，
66∴
π6t＝π3＋2kπ或5π
3
＋2kπ(k∈N)， ∴t＝2＋12k或10＋12k(k∈N)．
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