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北师大版八年级上册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
《二元一次方程组》全章复习与巩固（基础）知识讲解
【学习目标】
1.了解二元一次方程（组）的有关概念，会解简单的（数字系数）；能根据具体问题中的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题，并能检验解的合理性. 2.二元一次方程组的图像解法，初步体会方程与函数的关系.
3.了解解二元一次方程组的“消元”思想，从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的划归思想. 【知识网络】
【要点梳理】
要点一、二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义
定义：方程中含有两个未知数（x和y），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 要点诠释：
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（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解
定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 要点诠释：
二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为??x＝a 的形式.
?y＝b3. 二元一次方程组的定义
定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组
?3x?4y?5. ??x?2要点诠释：
?a1x?b1y?c1（1）它的一般形式为?（其中a1，a2，b1，b2不同时为零）．
ax?by?c?222（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方
程组．
（3）符号“?”表示同时满足，相当于“且”的意思．
4. 二元一次方程组的解
定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 要点诠释：
（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.
（2）方程组的解要用大括号联立；
（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组??2x?y?5无
2x?y?6?解，而方程组??x?y??1 的解有无数个.
?2x?2y??2要点二、二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想
二元一次方程组消元转化一元一次方程
2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法、加减消元法和图像法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
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①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或y）的代数式表示，即变成y?ax?b（或x?ay?b）的形式； y（或x）
②将y?ax?b（或x?ay?b）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y（或x），得到一个关于x（或y）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；
④把x（或y）的值代入y?ax?b（或x?ay?b）中，求y（或x）的值； ⑤用“?”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
要点诠释：
(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；
(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.
（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“?”联立在一起即可.
要点诠释：
当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.
（3）图像法解二元一次方程组的一般过程： ①把二元一次方程化成一次函数的形式．
②在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点． ③交点坐标就是方程组的解． 要点诠释：
二元一次方程组无解<=>一次函数的图像平行（无交点）
二元一次方程组有一解<=>一次函数的图像相交（有一个交点）
二元一次方程组有无数个解<=>一次函数的图像重合（有无数个交点） 利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.
要点三、实际问题与二元一次方程组
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要点诠释：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 要点四、二元一次方程（组）与一次函数 1.二元一次方程与一次函数的关系
（1）任何一个二元一次方程ax?by?c(a、b?0,c为常数)都可以变形为
ac所以每个二元一次方程都对应一个一y?-x?(a、b?0c,为常数即为一个一次函数，)bb次函数.
（2）我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程x?y?5我们列举出它的几组整数解有??x?0,?x?5,?y?5;??y?0;?x?2,，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5），（5，0），??y?3（2，3）恰好在一次函数y＝?x?5的图像上，反过来，在一次函数y?5?x的图像上任取一点，它的坐标也适合方程x?y?5.
要点诠释：
1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上； 2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程；
3.以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同. 2. 二元一次方程组与一次函数
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 3.用二元一次方程组确定一次函数表达式
待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法. 利用待定系数法解决问题的步骤： 1.确定所求问题含有待定系数解析式.
2.根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程. 3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.
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