2017春高三年理科三基小题训练(01)（师）

SCH南极数学2017届三基小题训练

2017春高三年理科三基小题训练（01）（师）

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.已知集合P＝{x|x2－2x≥3}，Q＝{x|2＜x＜4}，则P∩Q＝( ) A.[3，4) B.(2，3] C.(－1.2) 答案 A

2.下列命题中，是真命题的是( )

axA.?x0∈R，e0 ≤0 B.?x∈R，2x＞x2 C.已知a，b为实数，则a＋b＝0的充要条件是＝－1

bD.已知a，b为实数，则a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件 答案 D 3.以下四个命题中：

①在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好； ②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；

③若数据x1，x2，x3，…，xn的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差为2；

④对分类变量x与y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大. 其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3

D.4 D.(－1，3]

解析 由相关指数R2越接近于1，模型的拟合效果越好知①正确；由相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强知②正确；③④错误. 答案 B

x2y25

4.已知双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )

ab2111

A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x

432答案 C

5.已知S1＝?2xdx，S2＝?2exdx，S3＝?2x2dx，则S1，S2，S3的大小关系为( )

?1?1?1

A.S1＜S2＜S3 B.S1＜S3＜S2 C.S3＜S2＜S1 D.S2＜S3＜S1 答案 B

6.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC＝a，BD→

＝b，则AF＝( )

111121A.a＋b B.a＋b C.a＋b 422433

→→12

D.a＋b 23

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→→

解析 ∵AC＝a，BD＝b，

→→→1→1→11∴AD＝AO＋OD＝AC＋BD＝a＋b，

2222|DE|1

因为E是OD的中点，∴＝，

|EB|31

∴|DF|＝|AB|，

3

→1→1→→∴DF＝AB＝(OB－OA)

33

1→1→11→1→

－AC??＝AC＝×?－2BD－??2??6－6BD 3?11

＝a－b， 66

21→→→1111

AF＝AD＋DF＝a＋b＋a－b＝a＋b.

226633答案 C

π

7.将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)·cos x的图象，则f(x)的表达式可以是( )

4A.f(x)＝－2sin x B.f(x)＝2sin x C.f(x)＝22

sin 2x D.f(x)＝(sin 2x＋cos 2x) 22

πππ

解析 将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位，得到函数y＝cos?2?x＋??＝cos?2x＋?＝－sin 2x的图象，

42???4???因为－sin 2x＝－2sin xcos x，所以f(x)＝ －2sin x. 答案 A

8.某程序框图如图所示，现将输出(x，y)值依次记为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，…，若程序运行中输出的一个数组是(x，－10)，则数组中的x＝( )

A.32 B.24 C.18

D.16

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解析 运行第一次，输出(1，0)，n＝3，x＝2，y＝－2；运行第二次，输出(2，－2)，n＝5，x＝4，y＝－4；运行第三次，输出(4，－4)，n＝7，x＝8，y＝－6；运行第四次，输出(8，－6)n＝9，x＝16，y＝－8；运行第五次，输出(16，－8)，n＝11，x＝32，y＝－10；运行第六次，输出(32，－10)，n＝13，x＝64，y＝－12. 答案 A

34?3π，，9.在直角坐标系中，P点的坐标为?Q是第三象限内一点，|OQ|＝1且∠POQ＝，则Q点的横坐标为( ) ?55?4723272

A.－ B.－ C.－

10512

82

D.－

13

3π33427224

解析 设∠xOP＝α，则cos α＝，sin α＝，xQ＝cos?α＋?＝·?－?－×＝－，选A.

55104?5?2?52?答案 A

10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

11353

A. B.3 C.

63

43

D.

3

解析 由三视图知该几何体是一个四棱锥P－ABCD，其直观图如图所示，设E为AD的中点，则BE⊥AD，PE⊥平面ABCD，△PAD为正三角形，四棱锥的底面是直角梯形，上底1，下底2，11

×（1＋2）×2?×3＝3，故选B. 高2；棱锥的高为3，∴体积V＝×??3?2答案 B

11.现定义ei＝cos θ＋isin θ，其中i为虚数单位，e为自然对数的底，θ∈R，且实数指数幂的运算性质对ei

θ

θ

5232441432355

都适用，若a＝C05cosθ－C5cosθsinθ＋C5cos θsinθ，b＝C5cosθsin θ－C5cosθsinθ＋C5sinθ，那么

复数a＋bi等于( )

A.cos 5θ＋isin 5θ B.cos 5θ－isin 5θ C.sin 5θ＋icos 5θ 解析 (ei＝cos θ＋isin θ其实为欧拉公式)

θD.sin 5θ－icos 5θ

514232a＋bi＝C05cosθ＋C5cosθ(isin θ)－C5cosθsinθ－ 234455C35cosθ(isinθ)＋C5cos θsinθ＋C5(isinθ) 042322＝C5cos5θ＋C15cosθ(isin θ)＋C5cosθ(isinθ)＋ 233444555C35cosθ(isinθ)＋C5cosθ(isinθ)＋C5(isinθ)

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＝(cos θ＋isin θ)5＝(ei)5＝ei

θ×5θ＝cos 5θ＋isin 5θ.

答案 A

12.已知函数f(x)＝x＋xln x，若k∈Z，且k(x－2)＜f(x)对任意的x＞2恒成立，则k的最大值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析 先画f(x)＝x＋xln x的简图，

设y＝k(x－2)与f(x)＝x＋xln x相切于M(m，f(m))(m＞2)， f（m）m＋mln m

所以f′(m)＝，即2＋ln m＝，可化为

m－2m－2m－4－2ln m＝0，设g(m)＝m－4－2ln m. 因为g(e2)＝e2－8＜0，g(e3)＝e3－10＞0， 所以e2＜m＜e3，

f′(m)＝2＋ln m∈(4，5)，又k∈Z，所以kmax＝4，选B. 答案 B

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.) 13.若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________.

p

解析 抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程是x＝－，双曲线x2－y2＝1的一个焦点F1(－2，0)，因为抛物线y2＝2px(p

2p

＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，所以－＝－2，解得p＝22.

2答案 22

y≤2，??

14.已知实数x、y满足?3x－y－3≤0，则目标函数z＝3x＋y的最大值为________.

??2x＋y－2≥0，解析 作出可行域如图所示：

作直线l0：3x＋y＝0，再作一组平行于l0的直线l：3x＋y＝z，当直线l经过点M时，z＝3x＋y取得最大值，

???3x－y－3＝0，?x＝3，5?5

，2，所以zmax＝3×＋2＝7. 由?得?所以点M的坐标为??3?3?y＝2，??

?y＝2，

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答案 7

15.若函数f(x)＝x2＋a|x－2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________. 解析 ∵f(x)＝x2＋a|x－2|，

2??x＋ax－2a，x≥2，

∴f(x)＝?2又∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

?x－ax＋2a，x＜2，?

a

－≤2，2∴?－4≤a≤0，即实数a的取值范围是[－4，0].

a

≤0，2

???

答案 [－4，0]

16.已知平面四边形ABCD为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧)，且AB＝2，BC＝4，CD＝5，DA＝3，则平面四边形ABCD面积的最大值为________. 解析 设AC＝x，在△ABC中，由余弦定理有： x2＝22＋42－2×2×4cos B＝20－16cos B， 同理，在△ADC中，由余弦定理有： x2＝32＋52－2×3×5cos D＝34－30cos D， 即15cos D－8cos B＝7，①

111

又平面四边形ABCD面积为S＝×2×4sin B＋×3×5sin D＝(8sin B＋

22215sin D)，

即8sin B＋15sin D＝2S，② ①②平方相加得

64＋225＋240(sin Bsin D－cos Bcos D)＝49＋4S2， －240cos(B＋D)＝4S2－240， 当B＋D＝π时，S取最大值230. 答案 230

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