任意角的三角函数
1.三角函数的定义
已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，点P(x，y)是α的终边上除原点外一点，则r＝ ，sinα＝ ，cosα＝ ，tanα＝ 。 2．三角函数的定义域
(1)y＝sinα，α∈R. (2)y＝cosα，α∈R. (3)y＝tanα，α∈ . 三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.
1.已知角α的终边上一点P(2,3)，则sinα的值为( ) 32213313A. B. C. D. 231313
2．已知角α的终边上一点P(－8,15)，则tanα的值为( ) 815158A.－ B.－ C. D.－
1581717
3.已知角α的终边上一点P(－3，－1)，则cosα的值为( ) A.3 B.
331
C．－ D．－ 322
2
x，则sinα的值是( ) 4
4.已知α是第二象限的角，P(x，5)为其终边上一点，且cosα＝A.
106210 B. C. D.－ 4444
3313
＝ .
1313
2.解 r＝22＋32＝13，sinα＝
－33
3.解 r＝?－3?2＋?－1?2＝2，∴cosα＝＝－.
224.解 由cosα＝
x2x510
＝，得x＝－3(x<0)，∴sinα＝＝. 448x2＋5
1.三角函数的概念
(1)三个三角函数都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．
(2)明确sinα的意义：sinα是一个比值，它是一个整体，离开α的“sin”不表示任何意义，其它两个三角函数也一样． 2．三角函数的定义域
函数的定义域是函数概念的三要素(定义域、值域、对应法则)之一．确定函数的定义域时，应抓住分母等于0比值没有意义这一关键．因为角α的终边上任意一点P(x，y)与原点不重合，所以r＝x2＋y2≠0，由此可知正弦函数、余弦函数的定义域都为R；当角α的终边落在坐标轴上时，点P的坐标中必有一个为零．当角α的终边落在y轴上时，终边πy??
上任意一点P的横坐标x＝0时，正切函数tanα＝所以正切函数的定义域为?α|α≠kπ＋2，k∈Z?.
x??例1 已知角α的终边经过P(5，－12)，求α的三个三角函数值． 剖析 已知x＝5，y＝－12，先求出r，再根据三角函数的定义求之．
y12x5y12
解 ∵x＝5，y＝－12，∴r＝52＋?－12?2＝13.∴sinα＝＝－，cosα＝＝，tanα＝＝－.
r13r13x5
规律技巧 利用三角函数的定义求角的三角函数值的步骤：
(1)确定任意角α的终边上一点的坐标P(x，y)；(2)求出点P到坐标原点的距离r＝x2＋y2； (3)代入任意角三角函数的定义求值．
3
1，－?，求sinα，cosα，tanα的值． 变式1.已知角α的终边上一点P?4?? 解 r＝33－－44353143
－?2＝，∴sinα＝＝－，cosα＝＝，tanα＝＝－. 12＋??4?4555514
44
例2 已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα，cosα，tanα的值．
剖析 根据任意角三角函数的定义，应首先求出点P到原点的距离r，由于含有参数a，要注意分类讨论．
解 r＝?－4a?2＋?3a?2＝5|a|.
y3a3x－4a4y3a3
若a>0时，r＝5a，角α的终边在第二象限，sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－，tanα＝＝＝－. r5a5r5a5x－4a4343
若a<0时，r＝－5a，角α的终边在第四象限，sinα＝－，cosα＝，tanα＝－. 554
规律技巧 当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论． 变式2.(1)已知点P(－3，y)为角α的终边上一点，且sinα＝
(2)已知角α的终边落在直线y＝－3x上，求10sinα＋3cosα的值．
12y1313
解 (1)sinα＝＝>0，∴y>0.∴y＝，tanα＝＝－. 21326－33＋y
(2)角α的终边在第二象限或第四象限．
①角α的终边在第二象限时，在其终边上取一点(－1,3)，
13
，求tanα的值； 13
102710310
则sinα＝，cosα＝－，∴10sinα＋3cosα＝.
101010
②角α的终边在第四象限时，在其终边上取一点(1，－3)，
1027102710310则sinα＝－，cosα＝，∴10sinα＋3cosα＝-.综上①②所述，10sinα＋3cosα＝±.
10101010π
α＋?的定义域． 例3 求tan??4?
π
变式3.求tan(2x－)的定义域．
3
ππππππ??α＋?有意义，应满足α＋≠kπ＋，k∈Z，即α≠kπ＋，k∈Z， tan?α＋?的定义域为?α|α≠kπ＋，k∈Z?. 解要使tan?4?4??4?424??π
规律技巧 将α＋看作一个角，从而转化为一个角的三角函数，这种化归思想在以后的学习中会经常用到．
4ππ15π15π
解 2x－≠kπ＋，k∈Z.∴x≠kπ＋，k∈Z.∴定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}.
32212212三角函数值的符号
y
1.sinα＝，r>0,于是sinα的符号与 的符号相同,当α是 象限的角时,sinα>0；当α是 象限的角时，sinα<0.
rx
2.cosα＝，r>0，于是cosα的符号与 的符号相同,当α是 象限的角时，cosα>0；当α是 象限的角时，cosα<0.
ry
3.tanα＝，当x与y同号时，它的比值为 ，当x与y异号时，它的比值为 ，因此当α为 象限的角时，tanα>0；
x当α为 象限的角时，tanα<0.
确定一个角的某一三角函数值的符号， 关键先判断角是哪一象限角，再根据符号法则判断三角函数值的正负. 1.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
2.三角函数符号的记忆口诀
三角函数在各象限的符号可简记为“全正切余”，即按象限依次为：第一象限全为正；第二象限正弦为正；第三角限正切为正；第四象限余弦为正． 1.cos3的值( )
A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.无法确定 2.若cosα>0，且tanα<0，则α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 3.若θ是第二象限角，则( )
θθθ
A.sin>0 B.cos<0 C.tan>0 D.以上均不对
222
4.若三角形的两内角α，β满足sinα·cosβ<0，则此三角形必为( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 π
1.解 <3<π，∴3是第二象限角，∴cos3<0.
2
2.解 cosα>0，则α是第一、四象限角或α的终边在x轴的正半轴；tanα<0，则α是第二、四象限角．∵α满足cosα>0，tanα<0，∴α是第四象限角，故选D.
4.解 由条件知α，β∈(0，π)，∴sinα>0，又sinα·cosβ<0，∴cosβ<0，∴β必为钝角，故三角形必为钝角三角形． ππθπθθ3.解 ∵θ是第二象限角，∴2kπ＋<θ<2kπ＋π，k∈Z.∴kπ＋<
π
－? (3)tan(－672°(1)cos250° (2)sin?)． ?4?
剖析首先要确定所涉及到的角所在的象限，然后再根据各三角函数在各象限的符号，即可判定所给三角函数值的符号． ππ
－?＜0. 解 (1)∵250°是第三象限角，∴cos250°＜0. (2)∵－是第四象限角，∴sin??4?4
(3)∵－672°＝－2×360°＋48°，而48°是第一象限角， ∴－672°是第一象限角．∴tan(－672°)＞0.
规律技巧 当涉及到的角的绝对值较大时，可以在0°～360°范围内或[0,2π)内找到与它终边相同的角来确定该角所在的象限，进而确定所求．
43cosα
－，?，且例2 角α的终边上存在一点P?＜0，求sinα＋cosα的值． ?5m5m?tanα
cosα
剖析 应先根据点P的坐标特点以及＜0来确定点P所在的象限，即确定实数m的取值范围，再利用三角函数的
tanα定义进行求解 .
cosα43解 ∵＜0，又－与异号，所以α是第四象限角，所以m＜0.∴r＝
tanα5m5m
y341∴sinα＝＝－，cosα＝，∴sinα＋cosα＝.
r555
规律技巧 根据三角函数值在各象限中的符号确定点P所在的象限，另外如果已知角终边上的一点坐标，一般可用三角函数的定义计算各三角函数值.
例3 已知角α的终边上一点P(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，求实数a的取值范围．
剖析 P(x，y)是α的终边上一点，cosα≤0，则x≤0；sinα>0，则y>0.
?－4?2＋?3?2＝|1|＝－1. ?5m??5m?mm
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