二次根式的混合运算可类比整式的
运算进行，注意运算顺序，最后的结果应化简．引导学生勇于尝试，加强训练，从解题过程中发现问题，解决问题．本节课的易错点是运算错误，要求学生认真细心，养成良好的习惯。
17．1 一元二次方程
1．了解一元二次方程及相关概念；(重点)
2．能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型．(难点)
一、情境导入
一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？
设苗圃的宽为xm，则长为(x＋2)m. 根据题意，得x(x＋2)＝120. 所列方程是否为一元一次方程？
(这个方程便是即将学习的一元二次方程．) 二、合作探究
探究点一：一元二次方程的概念 【类型一】 一元二次方程的识别
下列方程中，是一元二次方程的是________(填入序号即可)． y21
①4－y＝0；②2x2－x－3＝0；③x2＝3； ④x2＝2＋3x；⑤x3－x＋4＝0；⑥t2＝2； 3
⑦x2＋3x－x＝0；⑧x2－x＝2.
解析：由一元二次方程的定义知③⑤⑦⑧不是．答案为①②④⑥.
方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再对它进行整理，若能整理为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，则这个方程就是一元二次方程．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
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【类型二】 根据一元二次方程的概念求字母的值 a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x＝2x2－ax－3；
＋
(2)(a－1)x|a|1＋2x－7＝0.
解析：(1)将方程转化为一般形式，得(a－2)x2＋(a－1)x＋3＝0，当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；(2)由|a|＋1＝2，且a－1≠0知，当a＝－1时，原方程是一元二次方程．
解：(1)将方程整理得(a－2)x2＋(a－1)x＋3＝0，∵a－2≠0，∴a≠2.当a≠2时，原方程为一元二次方程；
(2)∵|a|＋1＝2，∴a＝±1.当a＝1时，a－1＝0，不合题意，舍去．∴当a＝－1时，原方程为一元二次方程．
方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型三】 一元二次方程的一般形式 把下列方程转化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)x(x－2)＝4x2－3x；
x2x＋1－x－1(2)3－2＝2；
(3)关于x的方程mx2－nx＋mx＋nx2＝q－p(m＋n≠0)．
解析：首先对上述三个方程进行整理，通过“去分母”“去括号”“移项”“合并同类项”等步骤将它们化为一般形式，再分别指出二次项系数、一次项系数和常数项．
解：(1)去括号，得x2－2x＝4x2－3x.移项、合并同类项，得3x2－x＝0.二次项系数为3，一次项系数为－1，常数项为0；
(2)去分母，得2x2－3(x＋1)＝3(－x－1)．去括号、移项、合并同类项，得2x2＝0.二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为0；
(3)移项、合并同类项，得(m＋n)x2＋(m－n)x＋p－q＝0.二次项系数为m＋n，一次项系数为m－n，常数项为p－q.
方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，如果在一般形式中二次项系数为负，那么最好在方程左右两边同乘－1，使二次项系数变为正数；
(2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号；
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(3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项bx，则b＝0；若没有出现常数项c，则c＝0.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 探究点二：根据实际问题建立一元二次方程模型
如图，现有一张长为19cm，宽为15cm的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去
边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方程．
解析：小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数，利用长方形面积公式可列出方程．
解：设需要剪去的小正方形边长为xcm，则纸盒底面的长方形的长为(19－2x)cm，宽为(15－2x)cm.
15
根据题意，得(19－2x)(15－2x)＝81.整理得x2－17x＋51＝0(0 方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确地列出方程．在列出方程后，还应根据实际需求，注明自变量的取值范围． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题 探究点三：一元二次方程的根 已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋3＝0的一个解是x＝1，求m的值． 解析：将方程的解代入原方程，可使方程的左右两边相等．本题将x＝1代入原方程，可得关于m的一元一次方程，解得m的值即可． 解：根据方程的解的定义，将x＝1代入原方程，得12＋m×1＋3＝0，解得m＝－4，即m的值为－4. 方法总结：方程的根(解)一定满足原方程，将根(解)的值代入原方程，即可得到关于未知系数的方程，通过解方程可以求出未知系数的值，这种方法叫做根的定义法． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题 三、板书设计 18 / 100 本节课通过实例让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想．学生对一元二次方程的一般形式比较容易理解，但是很容易忽视a ＝0的时候该方程不是一元二次方程，需要在教学过程中加以强调。 1．配方法 1．学会用直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程；(重点) 2．理解配方法的思路，能熟练运用配方法解一元二次方程．(难点) 一、情境导入 一块石头从20m高的塔上落下，石头离地面的高度h(m)和下落时间x(s)大致有如下关系：h＝5x2，问石头经过多长时间落到地面？ 二、合作探究 探究点一：用直接开平方法解一元二次方程 用直接开平方法解下列方程： (1)x2－16＝0; (2)3x2－27＝0； (3)(x－2)2＝9; (4)(2y－3)2＝16. 解析：用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再根据平方根的定义求解．注意开方后，等式的右边取“正、负”两种情况． 解：(1)移项，得x2＝16.根据平方根的定义，得x＝±4，即x1＝4，x2＝－4； (2)移项，得3x2＝27.两边同时除以3，得x2＝9.根据平方根的定义，得x＝±3，即x1＝3，x2＝－3； (3)根据平方根的定义，得x－2＝±3，即x－2＝3或x－2＝－3，即x1＝5，x2＝－1； 7 (4)根据平方根的定义，得2y－3＝±4，即2y－3＝4或2y－3＝－4，即y1＝2，y2＝－ 19 / 100 12. 方法总结：直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，它的理论依据是平方根的定义，它的可解类型有如下几种：①x2＝a(a≥0)；②(x＋a)2＝b(b≥0)；③(ax＋b)2＝c(c≥0)；④(ax＋b)2＝(cx＋d)2(|a|≠|c|)． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 探究点二：用配方法解一元二次方程 【类型一】 用配方法解一元二次方程 用配方法解下列方程： (1)x2－2x－35＝0； (2)3x2＋8x－3＝0. 解析：当二次项系数是1时，先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配方成完全平方式，即为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，再用直接开平方法求解；当二次项系数不是1时，先将二次项系数化为1，再用配方法解方程． 解：(1)移项，得x2－2x＝35.配方，得x2－2x＋12＝35＋12，即(x－1)2＝36.直接开平方，得x－1＝±6.所以原方程的根是x1＝7，x2＝－5； 8884 (2)方程两边同时除以3，得x2＋3x－1＝0.移项，得x2＋3x＝1.配方，得x2＋3x＋(3)2 445451 ＝1＋(3)2，即(x＋3)2＝(3)2.直接开平方，得x＋3＝±3.所以原方程的根是x1＝3，x2＝－3. 方法总结：运用配方法解一元二次方程的关键是先把一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，然后在方程两边同时添加常数项，使其等于一次项系数一半的平方． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题 【类型二】 利用配方法求代数式的值 b37 已知a2－3a＋b2－2＋16＝0，求a－4b的值． 解析：观察方程可以知道，原方程可以用配方法转化为两个数的平方和等于0的形式，得到这两个数都为0，从而可求出a，b的值，再代入代数式计算即可． 31 解：原等式可以写成：(a－2)2＋(b－4)2＝0. 3131∴a－2＝0，b－4＝0，解得a＝2，b＝4. 3∴a－4b＝2－4×11 ＝－42. 20 / 100
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