例17、如图，甲乙两名同学在一个长40m、宽30m的长方形操场上，甲从A点出发，沿A→B→C的路线以每秒3m的速度跑向C地，当他出发4秒后，乙有东西要交给他，乙也从A点出发沿甲走的路线追赶，当乙跑到距离B地223的D处时，甲、乙人阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上，此时，A处的一根电线杆在阳光下的30mA影子也恰好落在对角线AC上。
（1）当他们的影子重叠时，两人相距多少米？（即DE的长） （2）求乙同学追赶甲同学的速度（结果精确到0.1）
C40mDEB
B、同角的锐角三角函数之间的关系：
（1）平方关系：sin2a?cos2a?1 . （2）倒数关系：tana?例17、在△ABC中，∠ACB=90o，sinA?
例19、在△ABC中，∠C=90o，则cotA·cotB（ ）A．0 B．1 C．?1 D．1或?1 例20、代数式tan62??cot52?的值（ ）A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．大于0而小于1 例21、在△ABC中，∠C=90o，若tanA>cotA,，则∠A、∠B的大小关系是（ ） A．∠A>∠B B．∠A<∠B C．∠A=∠B D．不能确
341cota（3）商数关系：tana?sinacosa，cota?cosasina
，求cosA、tanA、cotA的值。
解直角三角形2
一、知识导读：
解直角三角形的依据是直角三角形中的边、角关系及其锐角三角函数，主要有：如图所示，在Rt△ABC中，∠
BC?900，则∠A+∠B?900，a2?b2?c2，
caabasinA?，cosA?，tanA?，sinA?cosB，cosA?sinB，
Ab 在直角三角形中，知道了两个条件，至少有一个条件为边，即可解直角三角形，求出其他的所有元素。
tanA?cotB，cotA?tanB；
ccbC 在解直角三角形时，常常需要设未知数，利用直角三角形中的等量关系，通过列方程转化为解方程的问题，对于有些非直角三角形、四边形等实际问题，先转化为有关直角三角形的问题，再进行求解； 二、典型例题：
0例1、在△ABC中，∠C?90，a?20，S?ABC?20033，求∠A
30例2、已知，如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB?90，sinB?5C，D是BC边上一点，DE⊥AB于E，CD?DE，
DAC?CD?9，求BC和CE的长；
ABE例3、如图所示，在△ABC中，已知AB?AC，AD⊥BC，垂足为点D，CE⊥AB，垂足为点E，且AD?12，CE?8，求△ABC的面积；
BDCEA1
例4、如图所示，在△ABC中，∠ACB?900，AC?BC，AD是BC边上的中线，CE⊥AD，垂足为点E，交AB于点F，（1）求AE∶DE的值；（2）求tan?BAD的值；
A EB CD
例6、如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16h的航行到达，到达后必须立即卸货，此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西600方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。（1）问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由；（2）为了避免受到台风影响，该船应在多少小时内卸完货物？（2?1.4，3?1.7）；
BCE600ANF、在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c?53，若关于x的方程
?5
3?bx?2ax?53?b?0有两个相等的实数根，又方程2x??10sinA?x?5sinA?0的两个实数根
2???2的平方和为6，求△ABC的面积；
例3、如图，已知在△ABC中，BC?a，AC?b，AB?c，且2b?a?c，延长CA到D，使AD?AB，连结BD，
（1）求证：2?D??BAC； （2）求tan
0例4、已知，如图，△ABC中，∠C?90，点D在AC上，连结BD，若AD?9，cosA?B12?BAC?tan12?BCA的值；
DAC1213C，cot?BDC?34，
求BC的长；
ADB例5、如图所示，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，且a?c?2b，BD⊥AC，垂足为点D，点E、F在直线AC上，且AE?AB，CF?CB，
Bc?pa?q（1）设AD?p，CD?q，求证：； ?a?qc?p（2）求tan?E?tan?F的值；
例6、如图所示，在四边形ABCD中，AC⊥BC，垂足为点C，DE⊥AC，垂足为点E，DE的延长线交AB于点F，AB?15，DE?
AEADCF447，tanB?43，且S?AFE∶S四边形EFBC?1∶8，求?DAB的度数；
DEFC2
B、如图所示，已知在Rt△ABC中，∠C＝90o， D是BC 的中点，DE⊥AB，垂足为E，tanB?DE的长。
6、在△ABC中，已知AB＝6，∠B＝45o，∠C＝60o，求BC的长。
A
B E
12，AE＝7，求
A
D C
7、某中学有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测量到∠A＝30o，AC＝40m，BC＝25m，请你求出这块花
圃的面积。
8、如图，D是△ABC的边AC上一点，CD＝2AD，AE⊥BC于E，若BD＝8，sin∠CBD=
B 9、如图，在△ABC中，∠B＝45o ，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求∠ADC和 AB的长。
B
10、如图，在△ABC中，∠C＝90o ，∠ABC＝30o，D是AC的中点，求cot∠DBC的值。
D
A
E
C
34，求AE的长。
A
D
C
C A
D
B
C
11、如图，在△ABC中，∠C＝90o ，∠BAC＝30o ，BC＝1，D为BC边上一点，tan∠ADC是方程
3(x2?1x2)?5(x?1x)?2的一个较大的根，求CD的长。
C
D
A
B
2
tan44?tan45?tan46=_________6、求值：
???cos230??sin?45???4sin45??12tan15?cot15。
??2cos60?cos45
8、已知a、b是斜边为1的直角三角形的两条直角边的长，试求(asin30??bcos30?)2?(asin60??bcos60?)2的值。
3
7、已知△MNP三边之比为8:15:17，求最小角的四个三角函数值。
10、如图，在△ABC中，
ABAC?57，且锐角∠B满足下列关系式：(5tanB?B
A
2)?tanB?3?0。
（1） 求∠C的四个三角函数值； （2） 当AB=15时，求BC的长。
11、如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB?
32C
，AC=23，求AB的长。
C B
A
A
12、如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，S▲ABC?84，求tanC和sinA。
B C
14、如图，四边形ABCD中，∠A=60°，∠BCD=120°，BC＝CD，AD＝2，AB＝2CD＋1，求BD和AB
的长。
C B
A
D
15、在矩形纸片ABCD中，AB＝33，BC＝6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，
AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°，如图： （1）求BE、QF的长。 （2）求四边形PEFH的面积。
Q
F P AB
H
D
E
C
例13、化简：|cot54??1|?cot254??cot45? 例18、化简：（1）1?cos254??cos236? . 例22、若tana?
（2）已知cotA?3523，则cota= ，tan(90??a)= .例23、若α与β互余，则cot???2?tana?tan?? .
，求
4cosA?5sinA2cosA?3sinA的值。（3）已知a为锐角，且tana?cota?12，求tana?cota的值。
4
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