角三角形， 可得AC是斜边， ∠ADC=90°．可得DO=AC．利用
DO2+BO2=AB2=BD2．可得OB⊥OD．利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明．
（2）设点D， B到平面ACE的距离分别为hD， hE．则
=
．根据平面AEC
把四面体ABCD分成体积相等的两部分， 可得===1， 即点
E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．利用法向量的夹角公式即可得出．
【解答】（1）证明：如图所示， 取AC的中点O， 连接BO， OD． ∵△ABC是等边三角形， ∴OB⊥AC．
△ABD与△CBD中， AB=BD=BC， ∠ABD=∠CBD， ∴△ABD≌△CBD， ∴AD=CD． ∵△ACD是直角三角形， ∴AC是斜边， ∴∠ADC=90°． ∴DO=AC．
∴DO2+BO2=AB2=BD2． ∴∠BOD=90°． ∴OB⊥OD．
又DO∩AC=O， ∴OB⊥平面ACD． 又OB?平面ABC， ∴平面ACD⊥平面ABC．
（2）解：设点D， B到平面ACE的距离分别为hD， hE．则∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，
=
．
∴===1．
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∴点E是BD的中点．
建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．
则O（0， 0， 0）， A（1， 0， 0）， C（﹣1， 0， 0）， D（0， 0， 1）， B（0，
， 0）， E
=
．
，
=（﹣2， 0， 0）．
， 即
，
=（﹣1， 0， 1），
设平面ADE的法向量为=（x， y， z）， 则取=
．
）．
同理可得：平面ACE的法向量为=（0， 1， ∴cos
=
=
=﹣．
．
∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为
【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、三棱锥的体积计算公式、向量夹角公式， 考查了推理能力与计算能力， 属于中档题．
20．（12分）（2020?新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2=2x， 过点（2， 0）的直线l交C与A， B两点， 圆M是以线段AB为直径的圆． （1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4， ﹣2）， 求直线l与圆M的方程．
【分析】（1）方法一：分类讨论， 当直线斜率不存在时， 求得A和B的坐标， 由
?
=0， 则坐标原点O在圆M上；当直线l斜率存在， 代入抛物线方程，
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利用韦达定理及向量数量积的可得?=0， 则坐标原点O在圆M上；
方法二：设直线l的方程x=my+2， 代入椭圆方程， 利用韦达定理及向量数量积的坐标运算， 即可求得（2）由题意可知：
?
?
=0， 则坐标原点O在圆M上；
=0， 根据向量数量积的坐标运算， 即可求得k的值，
求得M点坐标， 则半径r=丨MP丨， 即可求得圆的方程．
【解答】解：方法一：证明：（1）当直线l的斜率不存在时， 则A（2， 2）， B（2， ﹣2）， 则∴
=（2， 2）， ⊥
，
=（2， ﹣2）， 则
?=0，
则坐标原点O在圆M上；
当直线l的斜率存在， 设直线l的方程y=k（x﹣2）， A（x1， y1）， B（x2， y2），
， 整理得：k2x2﹣（4k2+1）x+4k2=0，
则x1x2=4， 4x1x2=y12y22=（y1y2）2， 由y1y2＜0， 则y1y2=﹣4， 由则
?⊥
=x1x2+y1y2=0，
， 则坐标原点O在圆M上，
综上可知：坐标原点O在圆M上； 方法二：设直线l的方程x=my+2，
， 整理得：y2﹣3my﹣4=0， A（x1， y1）， B（x2， y2），
则y1y2=﹣4，
则（y1y2）2=4x1x2， 则x1x2=4， 则则
⊥
?
=x1x2+y1y2=0，
， 则坐标原点O在圆M上，
∴坐标原点O在圆M上；
（2）由（1）可知：x1x2=4， x1+x2=
， y1+y2=， y1y2=﹣4，
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圆M过点P（4， ﹣2）， 则由
?
=（4﹣x1， ﹣2﹣y1）， =（4﹣x2， ﹣2﹣y2），
=0， 则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0，
整理得：k2+k﹣2=0， 解得：k=﹣2， k=1， 当k=﹣2时， 直线l的方程为y=﹣2x+4， 则x1+x2=， y1+y2=﹣1，
则M（， ﹣）， 半径为r=丨MP丨=∴圆M的方程（x﹣）2+（y+）2=
．
=
，
当直线斜率k=1时， 直线l的方程为y=x﹣2， 同理求得M（3， 1）， 则半径为r=丨MP丨=∴圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10，
综上可知：直线l的方程为y=﹣2x+4， 圆M的方程（x﹣）2+（y+）2=或直线l的方程为y=x﹣2， 圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系， 考查韦达定理， 向量数量积的坐标运算， 考查计算能力， 属于中档题．
21．（12分）（2020?新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （1）若 f（x）≥0， 求a的值；
（2）设m为整数， 且对于任意正整数n， （1+）（1+求m的最小值．
【分析】（1）通过对函数f（x）=x﹣1﹣alnx（x＞0）求导， 分a≤0、a＞0两种情况考虑导函数f′（x）与0的大小关系可得结论； （2）通过（1）可知lnx≤x﹣1， 进而取特殊值可知ln（1+方面利用等比数列的求和公式放缩可知（1+）（1+方面可知（1+）（1+（1+
）∈（2， e）．
）…（1+
）＜
， k∈N*．一）＜e；另一
）…
）…（1+
）＜m，
，
）…（1+
）＞2， 且当n≥3时， （1+）（1+
【解答】解：（1）因为函数f（x）=x﹣1﹣alnx， x＞0，
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