习题课 数学归纳法
明目标、知重点
1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．
2．掌握证明n＝k＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．
1．归纳法
归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明． 2．数学归纳法
(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n有关的数学命题； (2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可； (3)注意点：在第二步递推归纳时，从n＝k到n＝k＋1必须用上归纳假设．
题型一 用数学归纳法证明不等式
思考 用数学归纳法证明不等式的关键是什么？
答 用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由n＝k到n＝k＋1时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明n＝k＋1时的结论． 例1 已知数列{bn}的通项公式为bn＝2n，求证：对任意的n∈N，不等式
*
b1＋1b2＋1bn＋1
··…·>n＋1都成立． b1b2bn证明 由bn＝2n，得所以
bn＋12n＋1
＝， bn2nb1＋1b2＋1bn＋13572n＋1
··…·＝···…·. b1b2bn2462nb1＋1b2＋1bn＋13572n＋1
··…·＝···…·>n＋1成立． b1b2bn2462n下面用数学归纳法证明不等式
33
(1)当n＝1时，左边＝，右边＝2，因为>2，所以不等式成立．
22(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N)时不等式成立， 即
*
b1＋1b2＋1bk＋13572k＋1
··…·＝···…·>k＋1成立． b1b2bk2462k
则当n＝k＋1时，左边＝2k＋3
>k＋1·＝2k＋2>＝
4k＋12k＋8
＝
4?k＋1?4?k＋1??k＋2?
4?k＋1?
2b1＋1b2＋1bk＋1bk＋1＋13572k＋12k＋3
··…··＝···…·· b1b2bkbk＋12462k2k＋2
2?2k＋3?＝
4?k＋1?
24k＋12k＋9
4?k＋1?
24?k＋3k＋2?
4?k＋1?
＝k＋2＝?k＋1?＋1. 所以当n＝k＋1时， 不等式也成立． 由(1)、(2)可得不等式都成立．
反思与感悟 用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用． 11111*跟踪训练1 用数学归纳法证明2＋2＋2＋…＋2<1－(n≥2，n∈N)． 234nn1111证明 当n＝2时，左式＝2＝，右式＝1－＝， 242211因为<，所以不等式成立． 42假设n＝k(k≥2，k∈N)时，不等式成立， 11111即2＋2＋2＋…＋2<1－， 234kk则当n＝k＋1时，
1111111
2＋2＋2＋…＋2＋2<1－＋234k?k＋1?k?k＋1?2?k＋1?－kk＋k＋1k?k＋1?＝1－ 2＝1－2<1－k?k＋1?k?k＋1?k?k＋1?2＝1－
1
， k＋1
2
2*
b1＋1b2＋1bn＋13572n＋1*
··…·＝···…·>n＋1对任意的n∈Nb1b2bn2462n所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立． 题型二 利用数学归纳法证明整除问题 例2 求证：an＋1
＋(a＋1)
2n－1
能被a＋a＋1整除，n∈N.
2×1－1
2*
证明 (1)当n＝1时，a1＋1
＋(a＋1)＝a＋a＋1，
2
命题显然成立．
(2)假设当n＝k(k∈N)时，a当n＝k＋1时，
*
k＋1
＋(a＋1)
2k－1
能被a＋a＋1整除，则
2
ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1
＝aa＝aak＋1
＋(a＋1)＋(a＋1)
2k－1
]＋(a＋1)(a＋1)
2
22k－1
－a(a＋1)
2k－1
2k－1
k＋12k－1
]＋(a＋a＋1)(a＋1)
2
.
由归纳假设，上式中的两项均能被a＋a＋1整除， 故n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n∈N， 命题成立．
反思与感悟 证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成n＝k时的情形，再利用归纳假设使问题获证． 跟踪训练2 证明x2n－1
*
＋y2n－1
(n∈N)能被x＋y整除．
2n－1
*
证明 (1)当n＝1时，x*
2n－1
＋y＝x＋y，能被x＋y整除．
(2)假设当n＝k(k∈N)时，命题成立， 即x2k－1＋y2k－1
能被x＋y整除． 2(k＋1)－1
那么当n＝k＋1时，x＝x2k＋1
＋y
2(k＋1)－1
＋y2k＋1
＝x2
2k－1＋2＋y2k－1＋2
＝x·x＝x(x∵x2
22k－1
＋y·y2k－1
2k－1
＋x·y222k－1
－x·y22k－1
2k－1
＋y)＋y2k－1
(y－x)．
2
2k－1
＋y2k－1
能被x＋y整除， y2－x2＝(y＋x)(y－x)也能被x＋y整除，
∴当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1
＋y2(k＋1)－1
能被x＋y整除．
由(1)，(2)可知原命题成立． 题型三 利用数学归纳法证明几何问题
思考 用数学归纳法证明几何问题的关键是什么？
答 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，还需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．
例3 平面内有n(n∈N，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f(n)＝
*
n?n－1?
2
. 证明 (1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个， 1
又f(2)＝×2×(2－1)＝1，
2
∴当n＝2时，命题成立． (2)假设n＝k(k>2)时，命题成立， 即平面内满足题设的任何k条直线交点个数
f(k)＝k(k－1)，
那么，当n＝k＋1时，
任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为
12
f(k)＝k(k－1)，
l与其他k条直线交点个数为k，
从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点， 1
即f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)＋k
21
＝k(k－1＋2) 2
11＝k(k＋1)＝(k＋1)(k＋1)－1]， 22∴当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)(2)可知，对任意n∈N(n≥2)命题都成立． 反思与感悟 用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明． 跟踪训练3 有n个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n－n＋2部分． 证明 (1)n＝1时，分为2块，f(1)＝2，命题成立； (2)假设n＝k(k∈N)时， 被分成f(k)＝k－k＋2部分； 那么当n＝k＋1时，依题意，
第k＋1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k＋1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k个区域． ∴f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k－k＋2＋2k ＝(k＋1)－(k＋1)＋2，
即n＝k＋1时命题成立，由(1)(2)知命题成立． 呈重点、现规律]
1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等．
2
2
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2*
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