2．证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n0.
3．从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设.
一、基础过关
?n＋3??n＋4?*
1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝ (n∈N)，验证n＝1时，左边
2应取的项是( ) A．1 C．1＋2＋3 答案 D
解析 等式左边的数是从1加到n＋3.
当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.
2．用数学归纳法证明“2>n＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值
n2
B．1＋2 D．1＋2＋3＋4
n0应取( )
A．2 C．5 答案 C
解析 当n取1、2、3、4时2>n＋1不成立，当n＝5时，2＝32>5＋1＝26，第一个能使2>n＋1的n值为5，故选C.
111n*nk＋1k3．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N)，证明不等式f(2)>时，f(2)比f(2)多的项数是
23n2( ) A．2
k－1
n2
5
2
B．3 D．6
n2
项 B．2
k＋1
项
C．2项 答案 C
kD．以上都不对
解析 观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，
f(2k)＝1＋＋…＋k，
而f(2
k＋1
1
212
11111)＝1＋＋…＋k＋k＋k＋…＋kk. 222＋12＋22＋2)比f(2)多了2项．
11111*
＋＋…＋>(n∈N)的过程中，由n＝k递推到n＝kn＋1n＋22n24
kk因此f(2
k＋1
4．用数学归纳法证明不等式
＋1时，下列说法正确的是( ) 1
A．增加了一项 2?k＋1?11
B．增加了两项和
2k＋12?k＋1?C．增加了B中的两项，但又减少了一项D．增加了A中的一项，但又减少了一项答案 C
解析 当n＝k时，不等式左边为当n＝k＋1时，不等式左边为
3
1 k＋11 k＋1
111＋＋…＋， k＋1k＋22k11111＋＋…＋＋＋，故选C. k＋2k＋32k2k＋12k＋2
3
3
*
5．用数学归纳法证明“n＋(n＋1)＋(n＋2)(n∈N)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( ) A．(k＋3) C．(k＋1) 答案 A
解析 假设当n＝k时，原式能被9整除， 即k＋(k＋1)＋(k＋2)能被9整除．
当n＝k＋1时，(k＋1)＋(k＋2)＋(k＋3)为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)展开，让其出现k即可．
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝nan (n∈N)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________________． 答案 Sn＝
2n n＋1
2
*
3
3
33
3
3
3
3
33
B．(k＋2)
D．(k＋1)＋(k＋2) 3
3
3
4368
解析 S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，
3245猜想Sn＝2n. n＋1
1*
7．已知正数数列{an}(n∈N)中，前n项和为Sn，且2Sn＝an＋，用数学归纳法证明：an＝nan－n－1.
11
证明 (1)当n＝1时，a1＝S1＝(a1＋)，
2a1∴a1＝1(an>0)，
2
∴a1＝1，又1－0＝1，∴n＝1时，结论成立． (2)假设n＝k(k∈N)时，结论成立，即ak＝k－k－1. 当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk 1111＝(ak＋1＋)－(ak＋) 2ak＋12ak1111＝(ak＋1＋)－(k－k－1＋) 2ak＋12k－k－111＝(ak＋1＋)－k. 2ak＋1
∴ak＋1＋2kak＋1－1＝0，解得ak＋1＝k＋1－k(an>0)， ∴n＝k＋1时，结论成立．
由(1)(2)可知，对n∈N都有an＝n－n－1. 二、能力提升
8．对于不等式n＋n≤n＋1 (n∈N)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，1＋1≤1＋1，不等式成立． ②假设n＝k (n∈N)时，不等式成立，即k＋k≤k＋1，则n＝k＋1时，?k＋1?＋?k＋1?＝*222
*
2
*
2
*
k2＋3k＋2 解析 从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求． 111119．用数学归纳法证明2＋2＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立．则当n＝k＋1223?n＋1?2n＋2时，应推证的目标不等式是__________________________． 答案 1111111 2＋2＋…＋2＋2＋2>－23k?k＋1??k＋2?2k＋3 1111111解析 观察不等式中的分母变化知，2＋2＋…＋2＋＋>－. 23k?k＋1?2?k＋2?22k＋310．证明：6 2n－1 ＋1能被7整除(n∈N)． 2－1 * 证明 (1)当n＝1时，6 * ＋1＝7能被7整除． 2k－1 (2)假设当n＝k(k∈N)时，6那么当n＝k＋1时，6 2(k＋1)－1 ＋1能被7整除． 2k－1＋2 ＋1＝6＋1 ＝36×(6∵6 2k－1 2k－1 ＋1)－35. ＋1能被7整除，35也能被7整除， 2(k＋1)－1 ∴当n＝k＋1时，6＋1能被7整除． 由(1)，(2)知命题成立． 11．求证： 1115* ＋＋…＋>(n≥2，n∈N)． n＋1n＋23n6 11115 证明 (1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>， 34566不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N)时命题成立， 即 1115＋＋…＋>. k＋1k＋23k6 * 则当n＝k＋1时， 1111111111 ＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋(＋ ?k＋1?＋1?k＋1?＋23k3k＋13k＋23?k＋1?k＋1k＋23k3k＋1111511115115＋－)>＋(＋＋－)>＋(3×－)＝， 3k＋23k＋3k＋163k＋13k＋23k＋3k＋163k＋3k＋16所以当n＝k＋1时不等式也成立． 由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N均成立． 2112．已知数列{an}中，a1＝－，其前n项和Sn满足an＝Sn＋＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，3Sn猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明． 1 解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋＋2. *Sn∴Sn＝－1 (n≥2)． Sn－1＋2 2 则有：S1＝a1＝－， 3 S2＝－＝－， S1＋24S3＝－＝－， S2＋25S4＝－＝－， S3＋26 由此猜想：Sn＝－1 5 1 4 13 n＋1* (n∈N)． n＋2 用数学归纳法证明：
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