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2018年普通高等学校招生全国统一考试
（全国一卷）理科数学
一、选择题，本题共12小题，每小题5份，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设z?A.0 B.
1?i?2i，则z? 1?i1 C.1 D.2 22. 已知集合A?x|x?x?2?0，则CRA? A. ?x|?1?x?2? B.?x|?1?x?2? C.?x|x??1???x|x?2? D.?x|x??1???x|x?2?
3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一杯，实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计和该地图新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
?2?
则下面结论中不正确的是
A.新农村建设后，种植收入减少
B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4.记Sn为等差数列?an?的前n项和，若3S3?S2?S4，a1?2，则a5? A.-12 B.-10 C.10 D.12
5.设函数f?x??x??a?1?x?ax，若f?x?为奇函数，则曲线y?f?x?在点?0,0?处的切
32线方程为
A.y??2x B.y??x C.y?2x D.y?x 6.在?ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB?
3113AB?AC B.AB?AC 44443113C.AB?AC D.AB?AC 4444A.
7.某圆柱的高为2，地面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为
A.217 B.25 C.3 D.2
8.设抛物线C:y?4x的焦点为F，过点??2,0?且斜率为
2A
B
2的直线与C交于M,N两点，3则FM?FN?
A.5 B.6 C.7 D.8
?ex,x?0,g?x??f?x??x?a，若g?x?存在2个零点，则a的取值范9.已知函数f?x????lnx,x?0围是
A.??1,0? B.?0,??? C.??1,??? D.?1,???
10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成。三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB,AC，?ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自的概率分别记为p1,p2,p3，则
A
B
C
A.p1?p2 B.p1?p3 C.p2?p3 D.p1?p2?p3
x2?y2?1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐11.已知双曲线C:3近线的交点分别为M,N。若?OMN为直角三角形，则MN?
3 B.3 C.23 D.4 212.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面?所成的角都相等，则?截此正方体所得
A.
截面面积的最大值为 A.
3323323 B. C. D. 4342二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
?x?2y?2?0?13.若x,y满足约束条件?x?y?1?0，则z?3x?2y的最大值为 .
?y?0?14.记Sn为数列?an?的前n项和，若Sn?2an?1，则S6? . 15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有
种.（用数字填写答案）
16.已知函数f?x??2sinx?sin2x，则f?x?的最小值是 .
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17--21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.（12分）
在平面四边形ABCD中,?ADC?90,?A?45,AB?2,BD?5. （1）求cos?ADB； （2）若DC?22，求BC.
??
18.（12分）
如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把?DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF?BF. （1）证明：平面PEF?平面ABFD; （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
x219.（12分）设椭圆C:2?y2?1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐标为?2,0?.
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：?OMA??OMB.
20.（12分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验。设每件产品为不合格品的概率都为p?0?p?1?，且各件产品是否为不合格品相互独立。
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f?p?，求f?p?的最大值点p0；
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值。已知每件产品的检验费用为2元。若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。
（ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX； （ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21.（12分）
已知函数f?x??1?x?alnx. x（1）讨论f?x?的单调性；
（2）若f?x?存在两个极值点x1,x2，证明：
f?x1??f?x2??a?2. x1?x2
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y?kx?2，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??2?cos??3?0. （1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程。
23.[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知f?x??x?1?ax?1.
（1）当a?1时，求不等式f?x??1的解集；
（2）若x??0,1?时不等式f?x??x成立，求a的取值范围
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