――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 三、数 列
1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如（1）已知an?在数列{an}的最大项为__（答：n*(n?N)，则2n?1561an）；（2）数列{an}的通项为an?，其中a,b均为正数，25bn?1则an与an?1的大小关系为___（答：an?an?1）；（3）已知数列{an}中，an?n2??n，且{an}是递增数列，求实数?的取值范围（答：???3）；（4）一给定函数y?f(x)的图象在下列图中，
*并且对任意a1?(0,1)，由关系式an?1?f(an)得到的数列{an}满足an?1?an(n?N)，则该函
数的图象是
（）（答：A）
A B C D
2.等差数列的有关概念：
（1）等差数列的判断方法：定义法an?1?an?d(d为常数）或an?1?an?an?an?1(n?2)。如设
{an}是等差数列，求证：以bn=
a1?a2???an n?N*为通项公式的数列{bn}为等差数列。
n（2）等差数列的通项：an?a1?(n?1)d或an?am?(n?m)d。如(1)等差数列{an}中，
a10?30，a20?50，则通项an? （答：2n?10）；（2）首项为-24的等差数列，从第
10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：8?d?3） 3n(a1?an)n(n?1)（3）等差数列的前n和：Sn?，Sn?na1?d。如（1）数列 {an}中，
221315an?an?1?(n?2,n?N*)，an?，前n项和Sn??，则a1＝＿，n＝＿（答：a1??3，222n?10）；（2）已知数列 {an}的前n项和Sn?12n?n2，求数列{|an|}的前n项和Tn（答：2*??12n?n(n?6,n?N)Tn??2）.
*??n?12n?72(n?6,n?N)a?b。 2提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求
（4）等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A?2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d…（公差为d）；偶数个数成等差，可设为…，
a?3d,a?d,a?d,a?3d,…（公差为2d）
3.等差数列的性质：
（1）当公差d?0时，等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函
数，且斜率为公差d；前n和Sn?na1?n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是关于n的二次函数且常222数项为0.
（2）若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，则为常数列。
（3）当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有
am?an?2ap.如（1）等差数列{an}中，Sn?18,an?an?1?an?2?3,S3?1，则n＝____（答：27）；（2）在等差数列?an?中，a10?0,a11?0，且a11?|a10|，Sn是其前n项和，则A、S1,S2LS10都小于0，S11,S12L都大于0 B、S1,S2LS19都小于0，S20,S21L都大于0 C、S1,S2LS5都小于0，S6,S7L都大于0 D、S1,S2LS20都小于0，S21,S22L都大于0 （答：B）
(4) 若{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kan?pbn} (k、p是非零常数)、
{ap?nq}(p,q?N*)、Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，…也成等差数列，而{aan}成等比数列；若{an}是
等比数列，且an?0，则{lgan}是等差数列. 如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（答：225）
（5）在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶－S奇?nd；项数为奇数2n?1时，
S奇?S偶?a中，S2n?1?(2n?1)?a中（这里a中即an）；S奇:S偶?(k?1):k。如（1）在等差数
列中，S11＝22，则a6＝______（答：2）；（2）项数为奇数的等差数列{an}中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.
（6）若等差数列{an}、{bn}的前n和分别为An、Bn，且
An?f(n)，则Bnan(2n?1)anA2n?1???f(2n?1).如设{an}与{bn}是两个等差数列，它们的前n项和分别为bn(2n?1)bnB2n?1aS6n?23n?1Sn和Tn，若n?，那么n?___________（答：）
bTn4n?38n?7n(7)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差
an?0??an?0?确定出数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组??或??????an?1?0??an?1?0?前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n?N。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），
由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列{an}中，a1?25，S9?S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若{an}是等差数列，首项a1?0,a2003?a2004?0，
*a2003?a2004?0，则使前n项和Sn?0成立的最大正整数n是 （答：4006）
(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究an?bm.
4.等比数列的有关概念： （1）等比数列的判断方法：定义法
an?1aa，其中q?0,an?0或n?1?n ?q(q为常数）ananan?1如（1）一个等比数列{an}共有2n?1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an?1(n?2)。
为____（答：5）；（2）数列{an}中，Sn=4an?1+1 (n?2)且a1=1，若bn?an?1?2an ，求证：6数列｛bn｝是等比数列。
（2）等比数列的通项：an?a1qn?1或an?amqn?m。如设等比数列{an}中，a1?an?66，
a2an?1?128，前n项和Sn＝126，求n和公比q. （答：n?6，q?1或2） 2a1(1?qn)（3）等比数列的前n和：当q?1时，Sn?na1；当q?1时，Sn?
1?q10na1?anqk?。如（1）等比数列中，q＝2，S99=77，求a3?a6???a99（答：44）；（2）?(?Cn)1?qn?1k?0的值为__________（答：2046）；
特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分
q?1和q?1两种情形讨论求解。
（4）等比中项：若a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。提醒：不是任何两数
都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个?ab。如已知两个正数a,b(a?b)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）
提醒：（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，（公比为q）；但偶数个数成等比时，不能设为…
2aa,,a,aq,aq2…2qqaa3,,aq,aq，…，因公比不一定为正数，只3qq有公比为正时才可如此设，且公比为q。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比
数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
5.等比数列的性质：
（1）当m?n?p?q时，则有amgan?apgaq，特别地，当m?n?2p时，则有amgan?ap2.如（1）在等比数列{an}中，a3?a8?124,a4a7??512，公比q是整数，则a10=___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列{an}中，若a5?a6?9，则log3a1?log3a2?L?log3a10? （答：10）。
*{bn}(2) 若{an}是等比数列，则{|an|}、{ap?nq}(p,q?N)、{kan}成等比数列；若{an}、成等比数列，则{anbn}、{Sn,S2n?Sn,S3n?S2n列
an}成等比数列； 若{an}是等比数列，且公比q??1，则数列bn ，…也是等比数列。当q??1，且n为偶数时，数列
(n?N*)，且
Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，…是常数数列0，它不是等比数列. 如（1）已知a?0且a?1，设数
{xn}满足
logaxn?1?1?logaxnx1?x2?L?x100?100，则
；（2）在等比数列{an}中，Sn为其前n项x101?x102?L?x200? . （答：100a100）和，若S30?13S10,S10?S30?140，则S20的值为______（答：40）
(3)若a1?0,q?1，则{an}为递增数列；若a1?0,q?1, 则{an}为递减数列；若
a1?0,0?q?1 ，则{an}为递减数列；若a1?0,0?q?1, 则{an}为递增数列；若q?0，则{an}为摆动数列；若q?1，则{an}为常数列.
?a1naq?1?aqn?b，这里a?b?0，但a?0,b?0，这是等1?q1?q比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据Sn，判断数列{an}是否为等比数列。如若{an}(4) 当q?1时，Sn?是等比数列，且Sn?3n?r，则r＝ （答：－1）
mn(5) Sm?n?Sm?qSn?Sn?qSm.如设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若
Sn?1,Sn,Sn?2成等差数列，则q的值为_____（答：－2）
(6) 在等比数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶?qS奇；项数为奇数2n?1时，
S奇?a1?qS偶.
{an}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列?an?的前n项和为Snn(7)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列，故常数数列
（n?N）， 关于数列?an?有下列三个命题：①若an?an?1(n?N)，则?an?既是等差数列又是
b?R?，则?an?是等差数列；③若Sn?1???1?，则?an?是等比数列；②若Sn?an2?bn?a、等比数列。这些命题中，真命题的序号是 （答：②③）
6.数列的通项的求法：
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。如已知数列3写出其一个通项公式：__________（答：an?2n?1?1111,5,7,9,?试4816321） 2n?1⑵已知Sn（即a1?a2?L?an?f(n)）求an，用作差法：an?已知{an}的前n项和满足log2(Sn?1)?n?1，求an（答：an??11114,n?1） a1?2a2?L?nan?2n?5，求an（答：an?n?12,n?2222f(1),(n?1)??f(n)Lgan?f(n)求an，a1?1,⑶已知a1ga2g用作商法：。如数列{an}中，an??,(n?2)??f(n?1)612对所有的n?2都有a1a2a3?an?n，则a3?a5?______（答：）
16⑷若an?1?an?f(n)求an用累加法：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?L?(a2?a1)
1?a1(n?2)。an?an?1?如已知数列{an}满足a1?1，则an=________（答：(n?2)，
n?1?nan?n?1?2?1） aaaa⑸已知n?1?f(n)求an，用累乘法：an?n?n?1?L?2?a1(n?2)。如已知数列{an}anan?1an?2a142中，a1?2，前n项和Sn，若Sn?nan，求an（答：an?）
n(n?1)⑹已知递推关系求an，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如an?kan?1?b、
??S1,(n?1)。如①
Sn?Sn?1,(n?2)3,n?1）；②数列{an}满足
2n,n?2
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