某圆轴作用有四个外力偶矩

扭 转

1 某圆轴作用有四个外力偶矩Me1?1kN?m，Me2?0.6kN?m，Me3?Me4?0.2kN?m。

(1) 试作轴扭矩图；

(2) 若Me1、Me2位置互换，扭矩图有何变化？

Mme44Mme33Mm2Mme11 e2 2m2.5m2.5m解：

T ( kN·m)1.00.4(1)0.20.20.4(2)

0.6

2 如图所示一传动轴AC，主动轮A传递外扭矩Me1?1kN?m，从动轮B、C传递的外扭矩分别为Me2?0.4kN?m，

Me3?0.6kN?m，已知轴的直径d?4cm，各轮间距l?50cm，切变模量G?80GPa，

(1) 试合理布置各轮的位置；

(2) 试求各轮在合理位置时轴内的最大切应力以及轮A与轮C

之间的相对扭转角。

Mme11MmMme33Mme22Mme11Mme33 e22 ABCBACllllT ( kN·m )1.00.60.60.解：

4 1．由扭矩图可以看出：按原先的布置，轴的最大扭矩为1.0 kN?m； 当主动轮A位于中间位置时，轴的最大扭矩降低为0.6 kN?m，因此，将主动轮A布置在两从动轮B和C中间较为合理。

?TAC0.6?103 2．max?W?Pa?47.7MPa

p?16?43?10?6?TACl0.6?103?50?10?2 ?ACGI??0.0149rad?0.854?p80?109??

32?44?10?8或 ???malx?TACl?TAClACGdGIp2GWd

p2 3 一空心圆轴的外径D?90mm，内径d?60mm，试计算该轴的抗扭截面系数Wp；若在横截面面积不变的情况下，改用实心圆轴，

试比较两者的抗扭截面系数Wp，计算结果说明了什么？ 解：

1．空心圆轴的抗扭截面系数

W?324?d4p???D4?d4???D??44?16D??90?6016?90?11.5?104mm3

D2 2．实心圆轴的抗扭截面系数 设实心圆轴的直径为d?，由实心圆轴与空心圆轴的横截面面积相

等，即

??24d?2?4?D?d2?，可得

d??D2?d2?902?602?67.1mm 故实心圆轴的抗扭截面系数为 Wp???16d?3?5.9?104mm3

3．比较1和2可知：在横截面相同的情况下，空心圆截面要比实心圆截面的抗扭截面模量大，因而，在扭转变形中，采用空心圆截面要比实心圆截面合理。

4 图示阶梯形圆轴的直径分别为d1?4cm、d2?7cm，轴上装有三个皮带轮。已知由轮3输入的功率为P3?30kW，轮1输出的功率为P1?13kW，轴作匀速转动，转速n?200r/min，材料的许用切应力[?]?60MPa，切变模量G?80GPa，许用单位长度扭转角[?]?2?/m。试校核该轴的强度和刚度。

Me3

M me11Mme22m3 ACDB 0.5m0.3m1m解：

T (kN·m) M13e1?9.55?200?0.62kN?m 0.62 M55?30e3?9.200?1.43kN?m 1.43 ????TAC?0.62?103ACmax?W?Pa?49.3MPa?pAC?[?]

16?43?10?6TAC0.62?103?AC?G?I??0.031 radm?1.77?m?[?]

p?AC80?109???44?10?832???TDB1.43?103DB?max?W??Pa?21.2MPa?[?]

pDB??73?10?616???TDB.43?103DBGI??0.008 radm?0.43?m?[?]

p?1DB80?109??32?74?10?8

5 图示外径D?100mm，内径d?80mm的空心圆轴与直径D1?80mm的实心圆轴用键相连。轴的两端作用外力偶矩Me?6kN?m，轴的许用切应力[?]?80MPa；键的尺寸为

10mm?10mm?30mm，

键的许用切应力[?]?100MPa，许用挤压应力[?bs]?280MPa，试校核轴的强度并计算所需键的个数n。

解：

1．校核轴的强度 空心轴：

MD e32?6?103?100?10?3?maxM?22??D?d?32???100?e80??10?12Pa?51.8MPa?[?e44?M44] 实心轴：

???M?6?103maxe16?D3?3?9Pa?59.7MPa?[?116??80?10M] e∴ 轴满足强度条件。

2．求所需键的个数

Me23 F??6?10D?0?10?3N?150kN 128由??F150?103n?10?30?10?6≤[?]可得：n≥10?30?10?6?100?106?5

由?Fn?5?30?10?6[?150?103bs?≤bs]可得：n≥150?10?6?280?106?3.6 ∴ 所需键的个数n≥5。

6 图示两圆轴用法兰上的12个螺栓联接。已知轴传递的扭矩Me?50kN?m，法兰边厚t?2cm，平均直径D?30cm，轴的许用

切应力[?]?40MPa，螺栓的许用切应力[?]?60MPa，许用挤压应力[?bs]?120MPa，试求轴的直径d和螺栓直径d1。

MeMe

mmFdDD1 m103010m..md1.d..D.....解： tt 1．求轴的直径 由轴的剪切强度条件：?Mmax?e?d316≤[?]，可得

d≥316Me?[?]?316?50?103 ??40?106m?185mm 2．求螺栓的直径

每个螺栓所受到的力为 F?1Me50?10312D2?6?30?10?2N?27.8kN

由螺栓的剪切强度条件：??FQ4F?d2?d2≤[?]，可得

14?1 d4F4?27.8?1031≥?[?]???60?106m?24mm 由螺栓的挤压强度条件：?FFbs?bsA?≤[?bs]，可得

bstd1 d1≥

Ft[??27.8?103bs]2?10?2?120?106m?12mm

∴ d1≥24mm。

7 图示密圈螺旋弹簧的平均直径D?250mm，簧杆直径d?12.5mm，承受轴向拉力F?180N。已知弹簧有效圈数n?10，切变模量G?80GPa。试求该弹簧的轴向变形和簧杆内的最大切应力。

Fd__D2F解：

1．弹簧的轴向变形

??64nFR38nFD3 Gd4 ? Gd4 8?10?180?2503?10?9 ?80?109?12.54?10?12 m?115.2 mm

2．簧杆内的最大切应力

c?2RDd?250d?12.5?20

?max?k16FR?d3?k8FD?d3???4c?1?4c?4?0.615?c???8FD?d3 ???4?20?1?4?20?4?0.615?8?180?250?10?320?????12.53?10?9 Pa?62.8 MPa

8 图示端部固定的钢圆杆和铜圆管以销钉联接。联接前，因制造误差，两杆销孔中心相差一角度??0.035rad。已知D?60mm，

d?40mm，钢杆和铜管的长度及切变模量分别为l1?400mm，

l2?600mm，G1?80GPa，G2?40GPa。试求强行联接后二杆内的最

大切应力。

A?dDl1Al2

A- A

MmemMe解： 为扭转超静定问题。设杆件的约束外扭矩为Me，根据题意有

?1??2?? ① ?MM1?el132el1Mel232?MG?， ?2??el2d4? ② 1Ip1G1?d4G2Ip2G2?D4?由①和②式可求得 0.035??Me?400?10?332600?10?3?1012 N?m

80?109?404?10?12?40?109??604?404??10?12 ??M1?e16?1012max??d316???403?10?9 Pa?80.5 MP a ??2?max???MeDD4?d4?16?16??1012?60?10?3??604?404??10?12 Pa?29.7 MPa