第3课时 函数的单调性与最值

第3课时 函数的单调性与最值

第3课时 函数的单调性与最值

【大纲解析】 主要考点：

①函数的单调性的概念及判定、证明，求单调区间 ②求函数的最值

函数单调性、最值及其几何意义在高考中占有较高的地位，一直是考试的热点，单调性经常与奇偶性综合出题，以小题形式出现的较多，在函数大题中往往都会涉及单调性，特别是与导数结合，单调性和最值是密不可分的，单调性及最值的几何意义也时常出现，这种题往往有一定的技巧性。

【知识梳理】

1， 增函数、减函数

设函数f?x?的定义域为I：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个变量的值x1,x2当x1?x2时，都有_____，那么就说函数f?x?在区间D上是增函数.

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个变量的值x1,x2当x1?x2时，都有_____，那么就说函数f?x?在区间D上是减函数. 2， 单调性、单调区间

如果函数y?f?x?在区间D上是增函数或减函数，那么都说函数y?f?x?在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D就叫做y?f?x?的单调区间.

3， 利用定义判断（证明）函数单调性的一般步骤：

①：_____ ②：_______ ③：______ ④：_______

4， 函数的最值的几何意义是函数图像上点的纵坐标的____或____，即图像的_____

或_____.

5， 判断函数单调性的常见方法

① 定义法； ② 图像法； ③ 导数法. 6， 求函数最值或值域的方法

①单调性法；②配方法；③换元法；④判别式法；⑤图像法；⑥不等式法；⑦导数法等 7， 重要函数y?ax?b(a?0,b?0,x?0)的单调性及最值 x增区间_____；减区间______；当x=_____时取最小值为_____. 说明：这个函数用导数研究其性质更方便. 8， 有关最值得一个重要结论

设f?x?在某个集合D上有最小值，m为常数，则f?x??m在D上恒成立的充要条件是____

设f?x?在某个集合D上有最大值，m为常数，则f?x??m在D上恒成立的充要条件是____

1 瞄准大成功，定好小任务 新东方优能中学教材

9， 复合函数的单调性 口诀：同增异减.

解释：当两个函数的单调性相同时，其复合函数为增函数。当两个函数的单调性相反时，其复合函数为减函数。 【考点透析】

考点8.求函数最值

求最值的方法较多，常用的有单调性法、换元法、判别式法、不等式法及导数法，用法也较灵活.解题时要注意具体问题具体分析，根据给出的函数的特征决定用何种方法.

例1：求下列函数的值域

（1） f(x)?x?1?x2； （2） f(x)?x?1(x?3); x?311(x??); x2；

（3） f(x)?x?2（4） f(x)?x2?5x?42（5）

f(x)?sinx-cos2x;

1 2x?x?1（6） f(x)?

变式1，求下列函数的值域：

（1） （2）

y?x?x?1； y?x?1?x

考点9.判断或证明函数的单调性

判断或证明函数的单调性的题目既可以是单独的题目，也可以是大题的一部分.主要方法是定义法和导数法.有时可以利用已知函数的单调性，如二次函数、指数函数等都可以直接应用而不必再证明，也可以借助函数图像. 例2.已知函数f(x)?a?

变式2：用单调性的定义证明：f(x)?x在???,???上是增函数.

3xx?2(a?1).证明：函数f(x)在??1,???上为增函数 x?1

考点10.复合函数的单调性

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第3课时 函数的单调性与最值

有关复合函数的单调性的题目一般难度较大，解决问题的关键是切实掌握好“同增异减”的规律，并注意变量的取值范围.

例3.已知函数f(x)?logax(logax?loga2?1).若y?f(x)在区间?,2?上是增

2函数，则实数a的取值范围是（ ）

A．?2,??? B. ?0,1???1,2? C.?,1? D.?0,?

22?1????1?????1??

变式3.如果函数f(x)?ax(ax?3a2?1)(a?0且a?1)在区间?0,???上是增函数，那么实数a的取值范围是（ ）

?3??2??3?,1?A．?0,? B．? C．1,3 D．?,??? ??3??2??3???考点11.单调性的综合应用

单调性、最值、奇偶性、恒成立问题等经常同时出现在同一道题目中，这种题目要注意分解，各个击破，只要各个知识点都掌握好了，并不是十分困难.

x2?2x?a,x?[1,??). 例4.已知函数f(x)?x(1)当a?1时，求函数f(x)的最小值. 2(2)若对任意x?[1,??),f(x)?0恒成立，试求实数a的取值范围.

x?a(x?0)变式4 函数f(x)??对任意实数x1?x2，都有f(x1)-f(x2)?0?(a-3)x?4a(x?0)x1-x2成立，则a的取值范围是（ ） A (0,

【课时作业】

A 基础题自测 1，函数f(x)?11] B. (0,1) C [,1) D．(0,3) 441-x在(0,??)上是（ ） x1在[3,4)上（ ） xA．增函数 B. 减函数 C. 不具有单调性 D. 无法判断 2，函数f(x)?1-A．有最小值无最大值 B. 有最大值无最小值

C．既有最大值也有最小值 D. 最大值和最小值都不存在

3 瞄准大成功，定好小任务 新东方优能中学教材

3，（2009·福建卷）下列函数f(x)中，满足\对任意的x1,x2?(0,??)当x1?x2时都有f(x1)?f(x2)\的是（ ） Af(x)?12x B．f(x)?(x-1) C. f(x)?e D．f(x)?ln(x?1) x1，则该函数在(-?,??)是（ ） x2?14，函数f(x)?A．单调递减且无最小值 B. 单调递减且有最小值 C．单调递增且无最大值 D. 单调递增且有最大值 5，函数

y?log1(2x2-3x?1)2的单调递减区间为（ ）

（-?,] C (,??) D.(-?.] A．(1,??) B

B 中档题演练

1，函数y?x?1-2x的值域是（ ）

A．(-?,1] B. (-?,-1] C.R D. [1,??) 2,函数f(x)?x-3?341212x2?2x?1的值域是（ ）

A．[3,??) B. [4,??) C. [2,??) D. [1,??) 3，函数y?f(x)的值域是[-2,2]，则函数y?f(x-2)的值域是（ ）

A．[-2,2] B. [-4,0] C. [0,4] D. [-1,1] 4，已知函数f(x)是R上的增函数，若F(x)?f(1-x)-f(1?x)，则F(x)是R上的（ ）

A．增函数 B. 减函数 C . 先减后增函数 D. 先增后减函数 5，函数y?2的定义域是(-?,1)?[2,5)，其值域为（ ） x-1A．(-?,2) B．(-?,0)?(,4) C．(-?,0)?(,2] D．(-?,2] 6，函数y?f(x)是定义在R上的增函数，其图像经过(0,-1)，要使不等式

1212-1?f(x?1)?1的解集为?x-1?x?3?，则应再经过点（ ）

A．(3,2) B．(4,0) C．(3,1) D. (4,1) 7,用min?a,b,c?表示a,b,c三个数中的最小值，设f(x)?min(2x,x?2,10-x)(x?0)，

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第3课时 函数的单调性与最值

则f(x)的最大值为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

?x2?1,-1?x?28，函数f(x)??的值域为______

?-6x?17,2?x?39，若函数f(x)?12(x?D)的值域为(-?,-]，则其定义域D为_______

3x-2a在[1,2]上都为减函数，则a的取值范x?110，若函数f(x)?-x2?2ax与g(x)?围是____

?2?x(x??,32?)的最小值为______ 11，函数f(x)?2x?32??12，函数y?x?4-x的值域为______

C 难题我破解 1，判断函数f(x)?x在区间[0.??)上的单调性，并加以证明.

2，函数f(x)对任意a,b?R，都有f(a?b)?f(a)?f(b)-1，并且当x?0时，

f(x)?1.

(1) 求证：f(x)是R上的增函数；

(2) 若f(4)?5，解不等式f(3m2-m-2)?3.

5 瞄准大成功，定好小任务