§3.1基本不等式
ab?教学目标：
1、知识与技能目标：（1）掌握基本不等式ab?a?b 2a?b,认识其运算结构； 2（2）了解基本不等式的几何意义及代数意义； （3）能够利用基本不等式求简单的最值。
2、过程与方法目标：（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程；
（2）体验数形结合思想。
3、情感、态度和价值观目标（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物；
（2）体会多角度探索、解决问题。
教学重点：应用数形结合的思想，并从不同角度探索和理解基本不等式。 教学难点：利用基本不等式ab?教学过程：
一、创设情景，引入新课 1.勾股定理的背景及推导
a?b求最值的前提条件。 2
赵爽弦图
引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理，了解勾股定理的背景。 2.(1)问题探究——探究赵爽弦图中的不等关系
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的不等式？
引导学生从面积关系得到不等式：a+b≥ 2ab，当直角三角形变为等腰直角三角形，即正方形EFGH缩为一个点时，有a?b?2ab
（2）总结结论：一般的，如果a,b?R,那么a2?b2?2ab(当且仅当a?b时取\?\号) （3）推理证明：作差法 二、讲授新课
重要不等式：如果a、b∈R，那么a＋b ≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号） 1.思考：如果用a,b去替换a?b?2ab中的a,b能得到什么结论？a,b要满足什么条
件？ 结论：ab≤22 2
2
22
22a?b(a?0,b?0)，当且仅当a?b时取等号。 2a ＋b2
2.推理证明：作差法
说明：1）我们称
为a，b的算术平均数，称ab 为a，b的几何平均数，因而，此定
理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2）a＋b≥2ab和要求a，b都是正数.
3）“当且仅当”的含义：
当a?b时，等号成立，其含义是：如果a?b那么仅当a?b时，等号成立，其含义是：如果综合起来：其含义是：a?b等价于
2
2
a ＋b2
≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者
a?b?ab 2a?b?ab那么a?b 2a?b?ab 24）数列意义：两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项 问：a，b∈R？ 3.(1)探究:(课本P88)
如图所示：AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b。 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。
引导学生发现：
－
a?b表示圆的半经，ab表示半弦长CD,得到不等关系：ab≤2
a?b(a?0,b?0) 2几何意义：半弦长不大于半径长。
我们称ab为正数a,b的几何平均数，称代数意义：几何平均数小于等于算术平均数 三、例题讲解
例1：设a,b为正数，证明不等式：ab?a?b为正数a,b的算术平均数。 2211?ab
证法（1）由a?0,b?0知
211?ab?2ab2ab2??ab 故：ab?
11a?b2ab?ab1111??11abab?1?ab?2 证法（2）由a?0,b?0知???112ab2ab?ab证法（3）（几何解析 数形结合）
AB是圆O的直径，AC?a,CB?b，过C作
CD?AB交圆O上半圆于点D，过点C作 CE?OD交OD于点E
在Rt?OCD中，由射影定理知DC?DE?OD
2DC2ab2??即：DE? a?b11OD?2ab由于DC?DE得ab?211?ab，当且仅当a?b时，等号成立
a?b?ab??结论：
112?ab2a?b2a2?b2a2?b2) ab? ab?( 222
例2：若0?x?1，求y?x(1?x)的最大值。
变：若0?x?1，求y?x(1?2x)的最大值。 2设计意图：发现运算结构，应用基本不等式求最值，把握基本不等式成立的前提条件 四、课时小结
1.知识要点：（1）基本不等式的条件及结构特征
（2）基本不等式在几何、代数两方面的意义
2．思想方法技巧：（1）数形结合思想
（2）换元法、作差法 （3）配凑等技巧
五、作业
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