2017-2018北京市西城区高三数学一模理科试题及答案

?ex?(a?21??lnx)． [ 2分]xx2

依题意，有 f?(1)?e?(a?1)?e， [ 4分]

解得 a?0． [ 5分]

（Ⅱ）由f?(x)?ex?(a?令 g(x)?a?2121?2?lnx)及ex?0知，f?(x)与a??2?lnx同号． xxxx21?2?lnx， [ 6分] xxx2?2x?2(x?1)2?1则 g?(x)?． [ 8分] ?x3x3所以 对任意x?(0,??)，有g?(x)?0，故g(x)在(0,??)单调递增． [ 9分] 11因为 a?(0,ln2)，所以 g(1)?a?1?0，g()?a?ln?0，

221故 存在x0?(,1)，使得 g(x0)?0． [11分]

21f(x)与f?(x)在区间(,1)上的情况如下：

2x f?(x) f(x) 1(,x0) 2x0 0 (x0,1) ? + ↘ 12极小值 ↗ 所以 f(x)在区间(,x0)上单调递减，在区间(x0,1)上单调递增．

所以 f(x)存在极小值f(x0)． [13分]

19．（本小题满分14分）

x2y2解：（Ⅰ）由题意，椭圆C的标准方程为??1． [ 1分]

42 所以 a2?4，b2?2，从而 c2?a2?b2?2． 因此 a?2，c?2． 故椭圆C的离心率 e?c2． [ 3分] ?a2 椭圆C的左焦点F的坐标为(?2,0)． [ 4分]

（Ⅱ）直线l与圆F相切．证明如下： [ 5分]

22设P(x0,y0)，其中?2?x0?2，则x0?2y0?4， [ 6分]

22依题意可设Q(x0,y1)，则x0?y1?4． [ 7分]

直线l的方程为 y?y1??x0(x?x0)， y1整理为 x0x?y1y?4?0． [ 9分] 所以圆F的圆心F到直线l的距离 d?|?2x0?4|?|22x0?2|．

x2?y201因为 |PF|2?(x2?12120?2)2?y0?(x0?2)22(4?x0)?2x0?22x0?4． 所以 |PF|2?d2， 即 |PF|?d，

所以 直线l与圆F相切．

20．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为 S0?0，S1??0.3，S2?0.4，S3?0.3，S4?1.2，S5?1.3， 所以 E5?{2,4,5}． （Ⅱ）由集合En的定义知 Ski?1?Ski，且ki?1是使得Sk?Ski成立的最小的k，

所以 Ski?1?1≤Ski. 又因为 aki?1?1， 所以 Ski?1?Ski?1?1?aki?1

?Ski?1.

所以 Ski?1?Ski?1． （Ⅲ）因为Sn?S0，所以En非空．

设集合 En?{k1,k2,L,km}，不妨设k1?k2?L?km， 则由（Ⅱ）可知 Ski?1?Ski?1(i?1,2,L,m?1)，

11分] 13分]

14分]

[ 2分]

[ 3分] [ 5分]

[ 6分]

[ 8分] [ [ [ 同理 Sk1?S0?1，且 Sn≤Skm．

所以 Sn?(Sn?Skm)?(Skm?Skm?1)?L?(Sk2?Sk1)?(Sk1?S0)

?0??11?1144?2L4?431?m．

m个1 因为 Sn?C，所以En的元素个数 m≥C?1． [11分]

取常数数列An：ai?C?1C?2(i?1,2,L,C?1)，并令n?C?1， 则 S(C?1)2C2?2n?C?2?C?1C?2?C，适合题意， 且 En?{1,2,L,C?1}，其元素个数恰为C?1． 综上，En的元素个数的最小值为C?1．

[13分]