名师导学2020版高考数学总复习综合试题四理含解析新人教A版

综合试题(四)

理科数学 【p329】 时间：60分钟 总分：100分

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．已知集合M＝{x|－1

【解析】解一元二次不等式x<2，得－2

2．某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)服从正态分布N(100，10)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为( )

A．20 B．10 C．14 D．21

1－2P（90≤ξ≤100）【解析】由题意知，P(ξ＞110)＝＝0.2，

2∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×100＝20. 【答案】A

3．《算数书》竹简于二十世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十12

六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈Lh.

3622

它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式V≈Lh相当于将圆锥

75体积公式中的π近似取为( )

A.

2225157355B.C.D. 7850113

2

2

2

1222

【解析】设圆锥底面圆的半径为r，高为h，依题意，L＝2πr，πrh＝(2πr)h，

375

1

18225所以π＝π，即π的近似值为.

3758

【答案】B

2x＋y－6≤0，???74?4．设x，y满足约束条件?x－y－1≤0，若z＝ax＋y仅在点?，?处取得最大值，则

?33???x－1≥0，

a的值可以为( )

A．4 B．2 C．－2 D．－1

【解析】作出约束条件表示的平面区域如图所示，目标函数z＝ax＋y可化为y＝－ax?74?＋z，其仅在点?，?处纵截距z取得最大值，得－a<－2，即a>2，所以a的值可以为4.

?33?

【答案】A

5．一个三位自然数abc的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b且c>b时称为“凹数”．若a，b，c∈{4，5，6，7，8}，且a，b，c互不相同，任取一个三位数abc，则它为“凹数”的概率是( )

2211A.B.C.D. 3563

【解析】根据题意，当且仅当a>b且c>b时称为“凹数”，在{4，5，6，7，8}的5个整数中任取3个不同的数组成三位数，有A5＝60种取法．

在{4，5，6，7，8}中取3个不同的数，将4放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A4＝12种；将5放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A3＝6种；将6放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A2＝2种；根据分类计数原理，可得共有12＋6＋2＝20种，201所以构成“凹数”的概率为＝.

603

【答案】D

2

2

2

3

2

|log3x|，0

6．已知函数f(x)＝??πx?，3≤x≤9，若存在实数x1，x2，x3，x4，当x1

－cos?3?????时，满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则x1·x2·x3·x4的取值范围是( )

135??29??A.?7，? B.?21，?

4?4???135??C．[27，30) D.?27，?

4??

|log3x|，0

【解析】画出函数f(x)＝??πx?，3≤x≤9的图象，如图所示，令f(x1)＝f(x2)

－cos?3?????＝f(x3)＝f(x4)＝a，作出直线y＝a，由x＝3时，f(3)＝－cos π＝1；由x＝9时，f(9)＝－cos 3π＝1；由图象可得，当0

??y＝－cos?x?的图象关于直线x＝6对称，可得x3＋x4＝12，则x1·x2·x3·x4＝x3(12－x3)

135??2

＝－(x3－6)＋36在x3∈(3，4.5)上递增，即有x1·x2·x3·x4∈?27，?.

4??

π

?3?

【答案】D

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．) 7．某设备的使用年数x与所支出的维修总费用y的统计数据如下表：

使用年数x(单位：年) 维修总费用y(单位：万元) 2 1.5 3 4.5 4 5.5 5 6.5 6 7.5 ^^

根据上表可得回归直线方程为y＝1.3x＋a.若该设备维修总费用超过12万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用________年．(结果取整数)

^^

【解析】∵x＝4，y＝5.1，∴5.1＝1.3×4＋a，∴a＝－0.1， 4^^

∴y＝1.3x－0.1，由y≤12得x≤9. 13

3

【答案】9

8．设函数f(x)＝ax＋b(a≠0)，若?2f(x)dx＝2f(x0)，x0>0，则x0等于________．

2

?0

【解析】∵函数f(x)＝ax＋b(a≠0)，?2f(x)dx＝2f(x0)，

2

?0

2?a3?282

∴?2(ax＋b)dx＝?x＋bx?|0＝a＋2b，2f(x0)＝2ax0＋2b，

3?3??

0

8232

∴a＝2ax0，∴x0＝. 3323【答案】 3

xy

9．设F1、F2是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，满

ab→→→→→

足(OP＋OF2)·PF2＝0(O为坐标原点)，且3|PF1|＝4|PF2|，则双曲线的离心率为________．

【解析】由于点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|4→→→→→→→

＝|PF2|，∴|PF1|＝8a，|PF2|＝6a，∵(OP＋OF2)·PF2＝0，∴(OP＋OF2)·(OF2－OP)＝0，3→2→2∴OP＝OF2.

在△PF1F2中，|OP|＝|OF2|＝|OF1|，则∠F1PF2＝90°，

由勾股定理得|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，即有64a＋36a＝4c，∴c＝5a，∴e＝5. 【答案】5

??kx＋k（1－a），x≥0，

10．已知函数f(x)＝?2其中a∈R，若对任意非零实22．．?x＋（a－4a）x＋（3－a），x<0，?

2

2

2

2

2

2

2

2

2

数x1，存在唯一实数x2(x1≠x2)，使得f(x1)＝f(x2)成立，则实数k的最小值为________．

【解析】由数形结合讨论知f(x)在(－∞，0)递减，在(0，＋∞)递增，

k>0，0≤a≤4，0≤a<1，????2??

∴?a－4a等价于?（3－a）2等价于?（3－a）2

－≥0k＝>0k＝，22???21－a1－a???

（3－a）10－6a2（3a－1）（a－3）令g(a)＝，则g(a)＝22－1(0≤a<1)且g′(a)＝－221－a1－a（1－a）

4

2