(0≤a<1)，
1?1???0，∴g(a)在??上递减，在?3，1?上递增， ?3???
?1?即kmin＝g??＝8. ?3?
【答案】8
三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 11．(16分)随着电子产品的不断更新完善，更多的电子产品逐步走入大家的世界，给大家带来了丰富多彩的生活，但也带来了一些负面的影响，某公司随机抽取1 000人对某电子产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的1 000人中的年龄层次以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：
30岁或 30岁以下 30岁以上 认为某电子产品 400 对生活有益 认为某电子产品 100 对生活无益 总计 500 500 1 000 200 300 300 700 总计 (1)根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为电子产品的态度与年龄有关系？
(2)为了答谢参与问卷调查的人员，该公司对参与本次问卷调查的人员进行抽奖活动，奖金额以及发放的概率如下：
奖金额 概率 0元(谢谢支持) 0.5 10元 0.4 20元 0.1 现有甲、乙两人参与了抽奖活动，记两人获得的奖金总金额为Y，求Y的分布列和数学期望．
5
n（ad－bc）
参与公式：K＝
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
2
2
临界值表：
P(K≥k0) k0 20.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 20.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 【解析】(1)依题意，在本次的实验中，K的观测值 1 000×（400×200－300×100）k＝＝47.619>10.828，
700×300×500×500
故可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对电子产品的态度与年龄有关系． (2)Y的可能取值为0，10，20，30，40， 111122
P(Y＝0)＝×＝，P(Y＝10)＝××2＝，
224255221113
P(Y＝20)＝×＋××2＝，
5521050212
P(Y＝30)＝××2＝，
51025111
P(Y＝40)＝×＝，
1010100
Y P E(Y)＝12.
12．(16分)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别5
在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H. 将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝10.
4
0 1 410 2 520 13 5030 2 2540 1 1002
6
(1)证明：平面D′EF⊥平面ABCD；
(2)求直线CD′与平面ABD′所成角的正弦值． 【解析】(1)∵AE＝CF＝5AECF
4，∴AD＝CD
，∴EF∥AC.
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥BD，∴EF⊥DH，∴EF⊥D′H. ∵AC＝6，∴AO＝3；
又AB＝5，AO⊥OB，∴OB＝4，∴OH＝AE
AD·OD＝1，
∴DH＝D′H＝3，
2
22
∴|OD′|
＝|OH|＋|D′H|，∴D′H⊥OH.
又∵OH∩EF＝H，∴D′H⊥平面ABCD. ∵D′H?平面D′EF， ∴平面D′EF⊥平面ABCD.
(2)建立如图坐标系H－xyz，则B(5，0，0)，C(1，3，0)，
D′(0，0，3)，A(1，－3，0)，→AB＝(4，3，0)，AD′→
＝(－1，3，3)，
设平面ABD′的法向量n＝(x，y，z)，
?由??n·→AB＝0，???x＝3，??n·AD→得??4x＋3y＝0，
′＝0??－x＋3y＋3z＝0，取?y＝－4，
??z＝5，
∴n＝(3，－4，5).
设直线CD′与平面ABD′所成角为θ，
7
→
∵CD′＝(－1，－3，3)，
→|CD′·n||－3＋12＋15|1238→∴sin θ＝|cos〈CD′，n〉|＝＝＝.
95→52·19|CD′||n|
x2y2
13．(18分)如图，椭圆C：2＋2＝1的顶点为A1，A2，B1，B2，焦点为F1，F2，|A1B1|＝
ab7，四边形A1B1A2B2是四边形B1F1B2F2面积的2倍．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，→→→|OP|＝1，是否存在上述直线l使AP·PB＝1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)由|A1B1|＝7知a＋b＝7， ① 由S?A1B1A2B2＝2S?B1F1B2F2知a＝2c， ② 又b＝a－c， ③ 由①②③解得a＝4，b＝3. 故椭圆C的方程为＋＝1.
43
(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， →→
假设存在直线l使AP·PB＝1成立，
(ⅰ)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝kx＋m， |m|→
由l与n垂直相交于P点且|OP|＝1，得＝1， 2
1＋k∴m＝k＋1.
8
2
2
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x2y2
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