合计
10 8 7 10 15 50 （Ⅰ）在每月读书超过5本的样本中，按性别用分层抽样随机抽取5名学生. ①求抽取的5名学生中男、女生各多少人；
②从这5名学生中随机抽取2名学生，求抽取的2名学生恰为一男生一女生的概率. （Ⅱ）如果认为每月纸质读书的本数超过3本的学生为“阅读达人”，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为“阅读达人”与性别有关？ 参考数据：
P?K2?k0? 0.15 k0
2.072 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 n?ad?bc?2，其中n?a?b?c?d. K??a?b??c?d??a?c??b?d?【答案】（Ⅰ）①男生有3人，女生2人;②p?【解析】 【分析】
（Ⅰ）①根据读书6本及以上男生和女生的比例，求得抽取的男生和女生的人数. ②利用列举法，根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.（Ⅱ）根据题目所给数据列联表，计算出K2的值，由此判断出在犯错误概率不超过0.05的前提下，不能认为阅读达人与性别有关.
【详解】（Ⅰ）①由表格可知，样本中每月阅读本数超过5本的男生有30人，女生20人， 在这50人中，按性别分层抽样抽取5名学生，其中男生有3人，女生有2人. ②记抽取的3名男生分别A，B，C；女生分别记为d，e.
再从这5名用户随机抽取2名学生，共包含?A,B?，?A,C?，?A,d?，?A,e?，?B,C?，?B,d?，
23
（Ⅱ）不能 5
?B,e?，?C,d?，?C,e?，?d,e?，10种等可能的结果.
抽取的2名学生恰为一男生一女生这一事件包含?A,d?，?A,e?，?B,d?，?B,e?，?C,d?，
?C,e?共计6种等可能的结果，
由古典概型的计算公式可得：p?（Ⅱ）由图中表格可得列联表： 男 女 合计
将列联表中的数据代入公式计算得
2n?ad?bc?100?45?15?30?10?100K????3.030?3.841，
?a?b??c?d??a?c??b?d?25?75?55?4533223
. 5
非阅读达人 10 15 25 阅读达人 45 30 75 合计 55 45 100 所以，在犯错误概率不超过0.05的前提下，不能认为阅读达人与性别有关.
【点睛】本小题主要考查分层抽样，考查古典概型概率计算，考查2?2列联表独立性检验等知识，属于基础题.
x2y2320.已知椭圆C：2?2?1?a?b?0?的离心率为，长轴长为8.
ab2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图所示，椭圆C的左顶点为D，右焦点为F，经过点P?22,0的动直线l与椭圆
??C交于A，B两点，求四边形ADBF面积S的最大值.
x2y2【答案】（Ⅰ）??1（Ⅱ）42?26
164【解析】 分析】
（Ⅰ）根据离心率和长轴长，结合a2?b2?c2，求得a,b,c，由此求得椭圆的方程.（Ⅱ）设直线l的方程为x?my?22，联立直线的方程和椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式，求得四边形ADBF面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最大值. 【详解】解：（Ⅰ）e?【x2y2椭圆C的方程为：??1；
164则y1?y2?c3，又2a?8，所以a?4，c?23，b?2， ?a2（Ⅱ）由题意可设直线l的方程为x?my?22，
?x?my?22?22联立C得?x2y2，得?m?4?y?42my?8?0，
?1???164?842myy?，， 1222m?4m?4设A?x1,y1?，B?x2,y2?， 则四边形ADBF面积S?1?a?c?y1?y2?2?3y1?y2， 2???42m??8?8m2?22?而y1?y2??y1?y2??4y1y2??2， ??22?m?4???4??m?4?m?4???8t8y?y???221令t?m2?2?2，则1， t2?2t?2t当且仅当t?22时取“?”，
所以S?42?26，
所以ADBF面积S的最大值为42?26.
【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查与面积的最值有关计算，考查运算求解能力 ，属于中档题.
21.已知函数f?x??xex?2elnx?a?x?1?. （Ⅰ）若a?1，求函数f?x?的单调区间； （Ⅱ）若a?f?1?，确定f?x?的零点个数.
【答案】（Ⅰ）f?x?的单调区间递减区间为?0,1?，单调区间递增区间为?1,???；（Ⅱ）f?x?的零点个数为0 【解析】 【分析】
（Ⅰ）求得函数f?x?的一阶导数和二阶导数，根据二阶导数为正数，得到一阶导数f'2?x?单
调递增，根据f'?1??0求得f?x?的单调区间.（Ⅱ）先确定a的取值范围.解法一：先利用构造函数法证得lnx?x?1，得到ex?1?x，由此证得f?x??0，即f?x?没有零点.解法二：利用f?x?的二阶导数，得到f?x?在?0,1?上单调递减，在?1,???上单调递增，故
f?x??f?1??e，故f?x?没有零点.
【详解】解：（Ⅰ）若a?1，则函数f?x??xex?2elnx??x?1?，
22e2e?2?x?1?，f''?x??ex?x?2??2?2， xx2e2exx∵x?0，∴e?x?2??2?2，∴f''?x??e?x?2??2?2?0，
xxf'?x??ex?x?1??f'?x?在?0,???上递增，而f'?1??0，
所以当x??0,1?时f'?x??0，所以当x??1,???时f'?x??0，
f?x?的单调区间递减区间为?0,1?，单调区间递增区间为?1,???；
（Ⅱ）解法1：若a?f?1?，a?e. 先证明：lnx?x?1，
设g?x??lnx?x?1，则g'?x??11?x?1?. xx
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