2020届【步步高】高考理科数学一轮总复习讲义

[步步高]高三理科数学一轮总复习讲义

A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题 B．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题 D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题

解析：选A.A中逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”是真命题； B中否命题为“若x≤1，则x2≤1”是假命题；

C中否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”是假命题； D中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题．

1

5．已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则綈p是q的( )

x

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

11

解析：选A.由x＞1得＜1；反过来，由＜1不能得知x＞1，即綈p是q的充分不必要条件，选A.

xx

6．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( ) A．3 B．2 C．1 D．0

解析：选C.原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题； 它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，

则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题． 因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个． 7．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( ) A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1

2

解析：选A.已知函数f(x)＝x－2x＋1的图象关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立． 所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2. 8．有四个关于三角函数的命题： p1：sin x＝sin y?x＋y＝π或x＝y；

xx

p2：?x∈R，sin2＋cos2＝1；

22

p3：x，y∈R，cos(x－y)＝cos x－cos y；

π1＋cos 2x0，?， p4：?x∈?＝cos x. ?2?2

其中真命题是( ) A．p1，p3 B．p2，p3 C．p1，p4 D．p2，p4

解析：选D.对于命题p1，若sin x＝sin y，则x＋y＝π＋2kπ，k∈Z或者x＝y＋2kπ，k∈Z，所以命题p1是假命题．对于命题p2，由同角三角函数基本关系知命题p2是真命题．对于命题p3，由两角差的余弦公式可知cos(x－y)＝cos xcos y＋sin xsin

1＋cos 2x1＋2cos2x－12y，所以命题p3是假命题．对于命题p4，由余弦的倍角公式cos 2x＝2cosx－1得 ＝＝cos2x，

22

π0，?， 又因为x∈??2?所以cos x≥0，所以cos2x＝cos x，所以命题p4是真命题．综上，选D. 9．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是________．

解析：找出命题的条件和结论，将命题的条件与结论互换，“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，故命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”． 答案：若|a|＝|b|，则a＝－b 10．给出以下四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题； ④若ab是正整数，则a，b都是正整数．

其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)

解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积不相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，则a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题． 答案：①③

B组 能力突破

1．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则( )

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[步步高]高三理科数学一轮总复习讲义

A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

解析：选A.两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A.

2．已知向量a＝(m2，－9)，b＝(1，－1)，则“m＝－3”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A.当m＝－3时，a＝(9，－9)，b＝(1，－1)，则a＝9b，所以a∥b，即“m＝－3”?“a∥b”； 当a∥b时，m2＝9，得m＝±3， 所以不能推得m＝－3，即“m＝－3” “a∥b”． 故“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要条件．

3．函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( ) A．p是q的充分必要条件

B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

解析：选C.由于q?p，则p是q的必要条件；而p?/ q，如f(x)＝x3在x＝0处f′(0)＝0，而x＝0不是极值点，故选C. 4．已知p：x＞1或x＜－3，q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是( ) A．[1，＋∞) B．(－∞，1] C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]

解析：选A.法一：设P＝{x|x＞1或x＜－3}，Q＝{x|x＞a}，因为q是p的充分不必要条件，所以QP，因此a≥1，故选A.

法二：令a＝－3，则q：x＞－3，则由命题q推不出命题p，此时q不是p的充分条件，排除B，C，D，选A.

5．设条件p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0；条件q：实数x满足x2＋2x－8＞0，且q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

解析：本题考查必要不充分条件的应用与一元二次不等式的解法．由x2－4ax＋3a2＜0得3a＜x＜a，由x2＋2x－8＞0得x

?a＜0，?

＜－4或x＞2，因为q是p的必要不充分条件，则?所以a≤－4.

?a≤－4，?

答案：(－∞，－4]

6．若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．

解析：由x2＞1，得x＜－1，或x＞1.又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，知由“x＜a”可以推出“x2＞1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1. 答案：－1

第3课时 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断

p 真 真 假 假 2.全称量词和存在量词 量词名称 全称量词 存在量词 q 真 假 真 假 p∧q 真 假 假 假 常见量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 p∨q 真 真 真 假 綈p 假 假 真 真 表示符号 用“?”表示 用“?”表示 3.全称命题和特称命题 命题名称 命题结构 命题简记 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ?x∈M，p(x) 特称命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ?x0∈M，p(x0) 4.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定

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[步步高]高三理科数学一轮总复习讲义 ?x∈M，p(x) ?x0∈M，p(x0) 5.判断下列结论的正误(正确的打“√”错误的打“×”) (1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．(×)

?x0∈M，綈p(x0) ?x∈M，綈p(x) (2)命题p和綈p不可能都是真命题．(√)

(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(√) (4)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．(×) (5)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．(√) (6)?x0∈M，p(x0)与?x∈M，綈p(x)的真假性相反．(√)

(7)已知命题p：?x∈R，x2≠x，则綈p：?x∈/ R，x2＝x.(×) (8)命题“存在实数x，使x＞1”的否定是：?x0∈R，使x≤1.(×)

－

(9)“?x∈R,2x1＞0”是真命题．(√)

(10)“全等三角形的面积相等”是全称命题．(√)

考点一 含逻辑联结词命题的真假判断及应用

命题点

1.判断复合命题的真假 2.利用复合命题真假求参数 π3ππ

2x＋?和函数y＝cos?2x－?的图象关于原点对称；命题q：当x＝kπ＋(k∈Z)时，函[例1] (1)给定命题p：函数y＝sin?4?4???2

数y＝2(sin 2x＋cos 2x)取得极小值．下列说法正确的是( ) A．p∨q是假命题 C．p∧q是真命题

B．(綈p)∧q是假命题

D．(綈p)∨q是真命题

3πππ2x－?＝cos?2x－－?＝ 解析：命题p中y＝cos?4?42???

ππππ

2x－??＝sin?2x－?与y＝sin?2x＋?关于原点对称，故p为真命题；命题q中y＝2(sin 2x＋cos 2x)＝ cos?2－?4??4?4?????πππ3π

2x＋?取极小值时，2x＋＝2kπ－，则x＝kπ－，k∈Z，故q为假命题，则綈p∧q为假命题，故选B. 2sin?4??428答案：B

(2)已知命题p：函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点；命题q：函数

y＝x2a在(0，＋∞)上是减函数．若p∧(綈q)为真命题，则实数a的取值范围是( ) A．(1，＋∞) B．(－∞，2] C．(1,2] D． (－∞，1]

解析：由题意可得，对命题p，令f(0)·f(1)＜0，即－1·(2a－2)＜0，得a＞1；对命题q，令2－a＜0，即a＞2，则綈q对应的a的取值范围是a≤2.∵p∧(綈q)为真命题， ∴实数a的取值范围是(1,2]． 答案：C

[方法引航] ?1?要判断p∧q，p∨q，綈p的真假.首先确定，每个简单命题p，q的真假，然后再判断复合命题的真假. ?2?含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假，解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围.

1．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ) A．(綈p)∨q C．(綈p)∧(綈q)

B．p∧q D．(綈p)∨(綈q)

－

解析：选D.不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有綈p∨綈q为真命题．

2．已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“?x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是( ) A．{a|a≤－2或a＝1} B．{a|a≥1} C．{a|a≤－2或1≤a≤2} D．{a|－2≤a≤1} 解析：选A.由题意知，p：a≤1，q：a≤－2或a≥1， ∵“p且q”为真命题， ∴p、q均为真命题， ∴a≤－2或a＝1.

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考点二 全称命题、特称命题的否定

命题点 1.全称命题的否定 2.特称命题的否定 [例2] (1)已知命题p：?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)≥0，则綈p是( ) A．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0 B．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1)(x2－x1)≤0 C．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0 D．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0

解析：由否命题的定义可得，綈p：?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0. 答案：C

(2)命题“存在实数x，使x＞1”的否定是( ) A．对任意实数x，都有x＞1 B．不存在实数x，使x≤1 C．对任意实数x，都有x≤1 D. 存在实数x，使x≤1

解析：利用特称命题的否定是全称命题求解．“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C. 答案：C

[方法引航] 对全?特?称命题进行否定的方法

?1?找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定. ?2?对原命题的结论进行否定.

1．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A,2x∈B，则( ) A．綈p：?x∈A,2x∈B C．綈p：?x?A,2x∈B

B．綈p：?x?A,2x?B D．綈p：?x∈A,2x?B

解析：选D.命题p：?x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为?x∈A,2x?B，选D.

2．设命题p：?n∈N，n2＞2n，则綈p为( ) A．?n∈N，n2＞2n B．?n∈N，n2≤2n C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n 解析：选C.命题p是一个特称命题，其否定是全称命题，故选C.

考点三 全称命题、特称命题真假的判断及应用

1.判断全称命题、特称命题的真假 命题点 2.应用命题真假求参数

[例3] (1)下列命题中的假命题是( )

－

A．?x∈R,2x1＞0 B．?x∈N*，(x－1)2＞0 C．?x0∈R，ln x0＜1 D．?x0∈R，tan x0＝2

－

解析：因为2x1＞0，对?x∈R恒成立，所以A是真命题；当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B是假命题；存在0＜x0＜e，使得ln x0＜1，所以C是真命题；因为正切函数y＝tan x的值域是R，所以D是真命题． 答案：B

41

(2)已知命题p：?x＞0，x＋≥4；命题q：?x0∈(0，＋∞)，2x0＝，则下列判断正确的是( )

x2

A．p是假命题 B．q是真命题 C．p∧(綈q)是真命题

D．(綈p)∧q是真命题

44解析：当x＞0时，x＋≥2x·＝4，p是真命题；当x＞0时，2x＞1，q是假命题，所以p∧(綈q)是真命题，(綈p)∧q

xx

是假命题． 答案：C

(3)由命题“存在x0∈R，使x20＋2x0＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是________． 解析：∵命题“存在x0∈R使x20＋2x0＋m≤0”是假命题，

2

∴命题“?x∈R，x＋2x＋m＞0”是真命题，故Δ＝22－4m＜0，即m＞1，故a＝1. 答案：1

[方法引航] 1.全称命题真假的判断方法

(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．

(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可． 2．特称命题真假的判断方法

要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命

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题．

1．在本例(3)中，命题改为：“?x∈R，x＋2x＋m≥0”，求m的范围． 解析：设y＝x2＋2x＋m，要使y≥0恒成立． ∴Δ＝22－4m≤0，∴m≥1

2．在本例(3)中，命题改为“?x0≤0，使x20＋2x0＋m≤0”，求m的范围．

2

解析：由x20＋2x0＋m≤0，可得m≤－x0－2x0. 设y＝－x20－2x0，由题意可知，m≤ymax.

y＝－(x0＋1)2＋1，当x≤0时，ymax＝f(－1)＝1，∴m≤1.

2

[易错警示]

量词的“烦恼”——对量词的否定不当致误

含量词的命题的否定方法是“改量词，否结论”，即把全称量词与存在量词互换，然后否定原命题的结论． [典例] (2018·山东济南检测)已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“(綈p)∧q”是真命题，则实数a的取值范围是( ) A．a≤－2或a＝1 B．a≤2或1≤a≤2 C．a＞1 D．－2≤a≤1

2－a＜0. [正解] 由题意得綈p：?x0∈[1,2]，x0∴a＞x20∈[1,4]，∴a＞1.

q为真，即x2＋2ax＋2－a＝0有根，

∴Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，∴a≥1或a≤－2.

∵(綈p)∧q是真命题，∴a＞1. [答案] C

[易误] 写綈p时，命题写错：①?x∈[1,2]，x2－a≤0，导致a≥1. ②?x∈[1,2]，x2－a＞0，导致a＜1.

[警示] 对量词否定不当导致解题错误．

[高考真题体验]

1．(2019·高考浙江卷)命题“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( ) A．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 B．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 C．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 D．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2

解析：选D.由特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题得，原命题的否定形式为“?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2.” 2．(2018·高考湖北卷)命题“?x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( ) A．?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1 B．?x?(0，＋∞)，ln x＝x－1 C．?x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1 D．?x0?(0，＋∞)，ln x0＝x0－1

解析：选A.特称命题的否定为全称命题，所以?x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1的否定是?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1，故选A.

3．(2014·高考辽宁卷)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( ) A．p∨q B．p∧q C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q) 解析：选A.命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0，错误；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，正确．因此p∨q是真命题，其他选项都不正确，故选A. 4．(2014·高考安徽卷)命题“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( ) A．?x∈R，|x|＋x2＜0 B．?x∈R，|x|＋x2≤0 C．?x0∈R，|x0|＋x2D．?x0∈R，|x0|＋x20＜0 0≥0

解析：选C.全称命题的否定是特称命题，即命题“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定为“?x0∈R，|x0|＋x20＜0”．故选C.

xx

5．(2013·高考课标卷Ⅰ)已知命题p：?x∈R,2＜3；命题q：?x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )

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