[步步高]高三理科数学一轮总复习讲义
A．p∧q C．p∧綈q
B．綈p∧q
D．綈p∧綈q 11－－
解析：选B.对于命题p，由于x＝－1时，21＝＞＝31，所以是假命题，故綈p是真命题；
23
对于命题q，设f(x)＝x3＋x2－1，由于f(0)＝－1＜0，f(1)＝1＞0，所以f(x)＝0在区间(0,1)上有解，即存在x∈R，x3＝1－x2，故命题q是真命题． 综上，綈p∧q是真命题，故选B.
π
0，?，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________． 6．(2018·高考山东卷)若“?x∈??4?ππ
0，?，tan x≤m”是真命题，所以m≥(tan x)max.当x∈?0，?时，函数y＝tan x是单调增函数，故(tan 解析：因为“?x∈??4??4?π
x)max＝tan＝1，所以m≥1，故m的最小值为1.
4
答案：1
课时规范训练 A组 基础演练
1．如果命题“p∨q”与命题“綈p”都是真命题，则( ) A．命题q一定是真命题 B．命题p不一定是假命题 C．命题q不一定是真命题 D．命题p与命题q真假相同
解析：选A.由綈p是真命题，则p为假命题．又p∨q是真命题，故q一定为真命题． 2．命题“对任意的，x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( ) A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0 C．存在x∈R，x3－x2＋1＞0
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0
解析：选C.由已知得，对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0，是全称命题．它的否定是特称命题，“任意的”的否定是“存在”，“≤0”的否定是“＞0”，故选C.
3．命题p：5的值不超过2，命题q：2是无理数，则( ) A．命题“p或q”是假命题 B．命题“p且q”是假命题 C．命题“非p”是假命题 D．命题“非q”是真命题
解析：选B.因为5≈2.236＞2，故p为假命题，2是无理数，故q是真命题，由复合命题的真假判断法则可知B正确． 4．已知命题p：?x∈R，x2－3x＋4≤0，则下列说法正确的是( ) A．綈p：?x∈R，x2－3x＋4＞0，且綈p为真命题 B．綈p：?x∈R，x2－3x＋4＞0，且綈p为假命题 C．綈p：?x∈R，x2－3x＋4＞0，且綈p为真命题
D．綈p：?x∈R，x2－3x＋4＞0，且綈p为假命题
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x－?2＋≥，所以命题p为假命题，所以綈p：?x∈R，x2－3x＋4＞0，且綈p为真命题，解析：选C.因为x2－3x＋4＝??2?44
故选C.
ππ
5．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是( )
22A．p为真 B．綈q为假
C．p∧q为假 D．p∨q为真
解析：选C.由题知，p是假命题，q是假命题，所以p∧q为假命题．因此只有C正确． 6．给定下列三个命题：( )
p1：函数y＝ax＋x(a＞0，且a≠1)在R上为增函数； p2：?a，b∈R，a2－ab＋b2＜0；
p3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k∈Z)． 则下列命题中的真命题为( ) A．p1∨p2 B．p2∧p3 C．p1∨綈p3
D．綈p2∧p3
1?01?1?－1－1＝1，所以p1为假命题；对于p2：a2－ab解析：选D.对于p1：令y＝f(x)，当a＝时，f(0)＝?＋0＝1，f(－1)＝?2??2?2
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13
a－b?2＋b2≥0，所以p2为假命题；对于p3：由cos α＝cos β，可得α＝2kπ±β(k∈Z)，所以p3是真命题，所以綈＋b2＝??2?4
p2∧p3为真命题，故选D.
7．如果命题“綈(p∨q)”为真命题，则( ) A．p，q均为真命题 B．p，q均为假命题
C．p，q中至少有一个为真命题
D．p，q中一个为真命题，一个为假命题
解析：选B.因为綈(p∨q)为真命题，所以p∨q为假命题，所以p，q均为假命题，故选B. 8．下列说法中正确的是( )
A．命题“?x∈(0，＋∞)，2x＞1”的否定是“?x0?(0，＋∞)，2x0≤1” B．命题“?x∈(0，＋∞)，2x＞1”的否定是“?x0∈(0，＋∞)，2x0≤1” C．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题是“若a2＜b2，则a＜b” D．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题是“若a2≥b2，则a≥b”
解析：选B.根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，同时，全称量词要变成特称量词，而逆否命题既要否定条件又要否定结论，且前后交换位置，故选B.
x－1
9．已知命题p：存在a∈R，曲线x2＋ay2＝1为双曲线；命题q：≤0的解集是{x|1＜x＜2}，则下列结论中正确的有( )
x－2①“p∧q”是真命题；②“p∧(綈q)”是真命题；③“(綈p)∨q”是真命题；④“(綈p)∨(綈q)”是真命题． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：选B.命题p为真命题，命题q是假命题，则綈p为假命题，綈q为真命题，所以①错，②正确，③错，④正确． 10．下列命题中，真命题是( )
A．?m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是偶函数 B．?m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是奇函数 C．?m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数 D．?m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
解析：选A.由于当m＝0时，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数，故“?m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)为偶函数”是真命题．
B组 能力突破
1．下列选项中，说法正确的是( )
A．命题“?x∈R，x2－x≤0”的否定是“?x∈R，x2－x＞0” B．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件 C．命题“若am2≤bm2，则a≤b”是假命题
1π
D．命题“在△ABC中，若sin A＜，则A＜”的逆否命题为真命题
26
解析：选C.A中命题的否定是：?x∈R，x2－x＞0，故A错；B中当p为假命题、q为真命题时，p∨q为真，p∧q为假，
1π
故B错；C中当m＝0时，a，b∈R，故C的说法正确；D中命题“在△ABC中，若sin A＜，则A＜”为假命题，所以
26
其逆否命题为假命题，D错．故选C.
2．已知命题p：?x0∈R，ex0－mx0＝0，q：?x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是( ) A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．[0,2] C．R D．? 解析：选B.若p∨(綈q)为假命题，则p假q真．命题p为假命题时，有0≤m＜e；命题q为真命题时，有Δ＝m2－4≤0，即－2≤m≤2.所以当p∨(綈q)为假命题时，m的取值范围是0≤m≤2. 3．命题“存在x∈R，使得|x－1|－|x＋1|＞3”的否定是________．
解析：命题“存在x∈R，使得|x－1|－|x＋1|＞3”的否定是“对任意的x∈R，都有|x－1|－|x＋1|≤3.” 答案：对任意的x∈R，都有|x－1|－|x＋1|≤3
b
4．若命题p：关于x的不等式ax＋b＞0的解集是{x|x＞－}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)＜0的解集是{x|a＜x
a＜b}，则在命题“p∧q”、“p∨q”、“綈p”、“綈q”中，是真命题的有________．
解析：依题意可知命题p和q都是假命题，所以“p∧q”为假、“p∨q”为假、“綈p”为真、“綈q”为真． 答案：綈p、綈q
5．命题“?x∈R,2x2－3ax＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为________．
解析：因题中的命题为假命题，则它的否定“?x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－22≤a≤22.
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答案：[－22，22]
6．已知命题p：“?x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“?x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由?x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由?x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4. 答案：[e,4]
第1课时 函数及其表示
1．函数与映射 两集合 A、B 对应关系 f：A→B 名称 记法 函数 设A，B是两个非空数集 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 y＝f(x)(x∈A) 映射 设A，B是两个非空集合
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 对应f：A→B是一个映射 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域．
(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (3)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
4．常见函数定义域的求法 类型 x满足的条件 f?x?，n∈N* 1与[f(x)]0 f?x?logaf(x)(a＞0，a≠1) logf(x)g(x) tan f(x) 2nf(x)≥0 f(x)≠0 f(x)＞0 f(x)＞0，且f(x)≠1，g(x)＞0 πf(x)≠kπ＋，k∈Z 25.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(×)
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(×) (3)映射是特殊的函数．(×)
(4)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．(×) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(×) (6)函数是建立在其定义域到值域的映射．(√)
(7)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．(×) (8)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．(√)
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(9)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．(√)
(10)y＝x－1
x－1
＝x－1，其定义域为[1，＋∞)(×)
考点一 求函数的定义域
1.已知函数具体解析式求定义域 命题点 2.求抽象函数的定义域 3.已知函数定义域求参数
[例1] (1)(2018·山东淄博模拟)函数f(x)＝3x2
1－x
＋lg(3x＋1)的定义域是( )
A.??－13，＋∞?? B.??－13，1?? C.?1?－3，13?? D.??
－∞，－13?? 解析：要使函数有意义，需满足???1－x＞0，1
??
3x＋1＞0.
解得－3＜x＜1.
答案：B
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f?2x?
x－1
的定义域为________．
解析：由???x－1≠0，
?解得0≤x＜1，即函数定义域是[0,1)．?
0≤2x≤2，
答案：[0,1)
(3)(2019·安徽合肥模拟)若函数f(x)＝
的定义域为R，则a的取值范围为________．解析：由题意可得2x2＋
2ax－
a－1≥0对x∈R恒成立．
∴x2＋2ax－a≥0恒成立
∴Δ＝4a2＋4a≤0，得－1≤a≤0. 答案：[－1,0]
[方法引航] 简单函数定义域的类型及求法
?1?已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式?组?求解.?2?抽象函数的定义域应注意：
①无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x的取值集合；
②对应f下的范围要一致.
?3?已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式?组?，进而求范围.
1．函数y＝
ln?x＋1?
－x2－3x＋4
的定义域为________．
解析：由??
?x＋1＞0??
－x2－3x＋4＞0
，得－1＜x＜1.
答案：(－1,1)
2．已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f??x＋12??＋f??x－1
2??的定义域是________． 解析：因为函数f(x)的定义域是[0,2]，
0≤x＋1
所以函数g(x)＝f?x＋1?＋f?x－1
?中的自变量x需满足??2
≤2，
?2??2?
?
0≤x－1
2
≤2，
解得：132≤x≤2
，
所以函数g(x)的定义域是?13?2，2??.
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13?
答案：??2，2?
3．若函数f(x)＝x2＋ax＋1的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为( ) A．(－2,2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,2]
解析：函数的定义域为R等价于对?x∈R，x2＋ax＋1≥0，令f(x)＝x2＋ax＋1，结合二次函数的图象(图略)，只需Δ＝a2－4≤0即可，解得实数a的取值范围为[－2,2]，故选D. 答案：D
考点二 求函数解析式 1.用待定系数法求解析式 2.用换元法求解析式 命题点 3.用方程组消元法求解析式 4.用转化法求解析式 [例2] (1)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式． 解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，
f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，
1a＝，?2?2a＝1，13
∴?即∴f(x)＝x2－x＋2.
223?a＋b＝－1，?
b＝－.
2
12
答案：f(x)＝x2－x＋2
23
(2)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)的解析式． 解析：f(1－cos x)＝sin2x＝1－cos2x，
令t＝1－cos x，则cos x＝1－t，t∈[0,2]， ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]， 即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]． 答案：f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]
1?
(3)已知f(x)＋2f??x?＝x(x≠0)，求f(x)的解析式．
1??1?＋2f(x)＝1. 解析：∵f(x)＋2f?＝x，∴f?x??x?x1?
f?x?＋2f??x?＝x，
解方程组
11?f??x?＋2f?x?＝x，2x
得f(x)＝－(x≠0)．
3x3
2x
答案：f(x)＝－(x≠0)
3x3
(4)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.
f?x＋1?
解析：设－1≤x≤0，则0≤x＋1≤1，所以f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)．又因为f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝
2
x?x＋1?＝－.
2
x?x＋1?
答案：－
2
[方法引航] 函数解析式的求法
?1?待定系数法：若已知函数的类型?如一次函数、二次函数?，可用待定系数法；
?2?换元法：已知复合函数f?g?x??的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
???
???
?3?消去法：已知f?x?与f或f?－x?之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f?x?.
?4?转化法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用函数满足的等量关系间接获得其解析式.
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