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10. （2018?安徽?分） 如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5.

（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)； （2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长.

【答案】（1）画图见解析；（2）CE=

【解析】【分析】（1）以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AB、AC有交点，再分别以这两个交点为圆心，以大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，过点A与这点作射线，与圆交于点E ，据此作图即可；

（2）连接OE交BC于点F，连接OC、CE，由AE平分∠BAC，可推导得出OE⊥BC，然后在Rt△OFC中，由勾股定理可求得FC的长，在Rt△EFC中，由勾股定理即可求得CE的长. 【详解】（1）如图所示，射线AE就是所求作的角平分线；

（2）连接OE交BC于点F，连接OC、CE， ∵AE平分∠BAC，

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∴，

∴OE⊥BC，EF=3，∴OF=5-3=2， 在Rt△OFC中，由勾股定理可得FC=在Rt△EFC中，由勾股定理可得CE=

==

， .

11. （2019?江苏泰州?8分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8． （1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．

【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于

1AB为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN即可． 2（2）设AD＝BD＝x，在Rt△ACD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【解答】解：（1）如图直线MN即为所求．

（2）∵MN垂直平分线段AB， ∴DA＝DB，设DA＝DB＝x， 在Rt△ACD中，∵AD＝AC+CD， ∴x＝4+（8﹣x）， 解得x＝5， ∴BD＝5．

12. （2018·广东·6分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°，

（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．

2

2

2

2

2

2

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【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可； （2）根据∠DBF=∠ABD﹣∠ABF计算即可； 【解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；

（2）∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C． ∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°， ∴∠C=∠A=30°， ∵EF垂直平分线线段AB， ∴AF=FB，

∴∠A=∠FBA=30°，

∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°．

13. （2019?湖北孝感?8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作： ①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；

②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N；分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E．

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请你观察图形，根据操作结果解答下列问题； （1）线段CD与CE的大小关系是 CD＝CE ；

（2）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，若AC＝12，BC＝5，求tan∠DBF的值．

【分析】（1）由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，据此得∠1＝∠2＝∠3，结合∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°知∠CEB＝∠CDE，从而得出答案；

（2）证△BCD≌△BFD得CD＝DF，从而设CD＝DF＝x，求出AB＝13，知sin∠DAF＝

DFBCx＝，即＝ADAB12+x513，解之求得x＝152，结合BC＝BF＝5可得答案． 【解答】解：（1）CD＝CE， 由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，

∴∠1＝∠2＝∠3，

∵∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°， ∴∠CEB＝∠CDE， ∴CD＝CE， 故答案为：CD＝CE；

（2）∵BD平分∠CBF，BC⊥CD，BF⊥DF， ∴BC＝BF，∠CBD＝∠FBD， 在△BCD和△BFD中， ∵

，

∴△BCD≌△BFD（AAS）， ∴CD＝DF， 设CD＝DF＝x，

在Rt△ACB中，AB＝13，

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