第二节 利用导数解决函数的单调性问题
［最新考纲］ 1.了解函数的单调性和导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不会超过三次）
函数的单调性与导数的关系
条件 函数y＝（fx）在区间（a，b）上可导 ［常用结论］ 1.在某区间内f′（x）＞0（f′（x）＜0）是函数f（x）在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件.
2.可导函数f（x）在（a，b）上是增（减）函数的充要条件是对?x∈（a，b），都有f′（x）≥0（f′（x）≤0）且f′（x）在（a，b）上的任何子区间内都不恒为零.
一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f′（x）＞0.（ ） （2）如果函数f（x）在某个区间内恒有f′（x）＝0，则f（x）在此区间内没有单调性.（ ）
（3）在（a，b）内f′（x）≤0且f′（x）＝0的根有有限个，则f（x）在（a，b）内是减函数.（ ）
［答案］ （1）× （2）√ （3）√ 二、教材改编
1
结论 f（x）在（a，b）内单调递增 f（x）在（a，b）内单调递减 f（x）在（a，b）内是常数函数 f′（x）＞0 f′（x）＜0 f′（x）＝0 1.如图是函数y＝（fx）的导函数y＝f（′x）的图象，则下面判断正确的是（ ）
A.在区间（－3,1）上f（x）是增函数 B.在区间（1,3）上f（x）是减函数 C.在区间（4,5）上f（x）是增函数 D.在区间（3,5）上f（x）是增函数
C ［由图象可知，当x∈（4,5）时，f′（x）＞0，故f（x）在（4,5）上是增函数.］
2.函数f（x）＝cos x－x在（0，π）上的单调性是（ ） A.先增后减 C.增函数
B.先减后增 D.减函数
D ［因为f′（x）＝－sin x－1＜0在（0，π）上恒成立， 所以f（x）在（0，π）上是减函数，故选D.］ 3.函数f（x）＝x－ln x的单调递减区间为 .
1（0,1］ ［函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，由f（′x）＝1－x≤0，得0＜x≤1， 所以函数f（x）的单调递减区间为（0,1］.］
4.已知（fx）＝x3－ax在［1，＋∞）上是增函数，则实数a的最大值是 . 3 ［f′（x）＝3x2－a≥0，即a≤3x2，
又因为x∈［1，＋∞ ），所以a≤3，即a的最大值是3.］
考点1 不含参数函数的单调性 求函数单调区间的步骤 （1）确定函数f（x）的定义域. （2）求f′（x）.
2
（3）在定义域内解不等式f′（x）＞0，得单调递增区间. （4）在定义域内解不等式f′（x）＜0，得单调递减区间.
1.函数f（x）＝1＋x－sin x在（0,2π）上是（ ） A.单调递增 B.单调递减
C.在（0，π）上增，在（π，2π）上减 D.在（0，π）上减，在（π，2π）上增
A ［f′（x）＝1－cos x＞0在（0,2π）上恒成立，所以在（0,2π）上单调递增.］
1
2.函数y＝2x2－ln x的单调递减区间为（ ） A.（－1,1］ C.［1，＋∞） 1
B ［∵y＝2x2－ln x，
1（x－1）（x＋1）
∴x∈（0，＋∞），y′＝x－x＝.
x由y′≤0可解得0＜x≤1，
1
∴y＝2x2－ln x的单调递减区间为（0,1］，故选 B.］
3.已知定义在区间（－π，π）上的函数f（x）＝xsin x＋cos x，则f（x）的单调递增区间是 .
π??π??
?－π，－2?和?0，2? ［f′（x）＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x， ????令f′（x）＝xcos x＞0，
π??π??
则其在区间（－π，π）上的解集为?－π，－2?和?0，2?，
????π??π??
即f（x）的单调递增区间为?－π，－2?和?0，2?.］
????
求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错.
3
B.（0,1］ D.（0，＋∞）
如T2.
考点2 含参数函数的单调性
研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行
分类讨论.
1
已知函数f（x）＝2x2－2aln x＋（a－2）x，当a＜0时，讨论函数f
（x）的单调性.
（x－2）（x＋a）2a
［解］ 函数的定义域为（0，＋∞），f（′x）＝x－x＋a－2＝.
x（x－2）2
①当－a＝2，即a＝－2时，f′（x）＝≥0，f（x）在（0，＋∞）
x上单调递增.
②当0＜－a＜2，即－2＜a＜0时，∵0＜x＜－a或x＞2时，f′（x）＞0；－a＜x＜2时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，－a），（2，＋∞）上单调递增，在（－a,2）上单调递减. ③当－a＞2，即a＜－2时，
∵0＜x＜2或x＞－a时，f′（x）＞0；2＜x＜－a时，f′（x）＜0， ∴f（x）在（0,2），（－a，＋∞）上单调递增，在（2，－a）上单调递减. 综上所述，当a＝－2时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增；当－2＜a＜0时，f（x）在（0，－a），（2，＋∞）上单调递增，在（－a,2）上单调递减；当a＜－2时，f（x）在（0,2），（－a，＋∞）上单调递增，在（2，－a）上单调递减.
含参数的问题，应就参数范围讨论导数大于（或小于）零的不等式
的解，在划分函数的单调区间时，要在函数定义域内确定导数为零的点和函数的间断点.
4
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