用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或求
解不等式的问题转化为利用导数研究函数单调性的问题，再由单调性比较大小或解不等式.
常见构造的辅助函数形式有：
（1）f（x）＞g（x）→F（x）＝f（x）－g（x）； （2）xf′（x）＋f（x）→［xf（x）］′； ?f（x）?
?′； （3）xf′（x）－f（x）→?
?x?（4）f′（x）＋f（x）→［exf（x）］′； ?f（x）?（5）f′（x）－f（x）→?x?′.
?e?
（1）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，设函数f（x）的导函
数为f′（x），若对任意x＞0都有2f（x）＋xf′（x）＞0成立，则（ ）
A.4f（－2）＜9f（3） C.2f（3）＞3f（－2）
B.4f（－2）＞9f（3） D.3f（－3）＜2f（－2）
xf′（x）－f（x）
x2（2）设（fx）是定义在R上的奇函数，（f2）＝0，当x＞0时，有＜0恒成立，则不等式x2f（x）＞0的解集是 . （1）A （2）（－∞，－2）∪（0,2） ［（1）根据题意，令g（x）＝x2f（x），其导数g′（x）＝2xf（x）＋x2f′（x），又对任意x＞0都有2f（x）＋xf′（x）＞0成立，则当x＞0时，有g′（x）＝x（2f（x）＋xf′（x））＞0恒成立，即函数g（x）在（0，＋∞）上为增函数，又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（－x）＝f（x），则有g（－x）＝（－x）2f（－x）＝x2f（x）＝g（x），即函数g（x）也为偶函数，则有g（－2）＝g（2），且g（2）＜g（3），则有g（－2）＜g（3），即有4f（－2）＜9f（3）.故选A.
9
f（x）?f（x）?
?′＜0， （2）令φ（x）＝x，∵当x＞0时，?
?x?f（x）
∴φ（x）＝x在（0，＋∞）上为减函数，又φ（2）＝0， ∴在（0，＋∞）上，当且仅当0＜x＜2时，φ（x）＞0， 此时x2f（x）＞0.
又f（x）为奇函数，∴h（x）＝x2f（x）也为奇函数. 故x2f（x）＞0的解集为（－∞，－2）∪（0,2）.］
如本例（1）已知条件“2f（x）＋xf′（x）＞0”，需构造函数g（x）
＝x2f（x），求导后得x＞0时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（0，＋∞）上为增f（x）
函数，从而问题得以解决.而本例（2）则需构造函数φ（x）＝x解决.
1.定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞f（x）恒成立，若x1＜x2，
则ex1f（x2）与ex2f（x1）的大小关系为（ ）
A.ex1f（x2）＞ex2f（x1） B.ex1f（x2）＜ex2f（x1） C.ex1f（x2）＝ex2f（x1）
D.ex1f（x2）与ex2f（x1）的大小关系不确定
f（x）f′（x）ex－f（x）exf′（x）－f（x）
A ［设g（x）＝ex，则g′（x）＝＝，xx2e（e）由题意得g′（x）＞0，所以g（x）在R上单调递增，当x1＜x2时，g（x1）＜gf（x1）f（x2）（x2），即ex1＜ex2，所以ex1f（x2）＞ex2f（x1）.］
1
2.已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f（x）的导函数f′（x）＜2，x21
则不等式f（x）＜2＋2的解集为 .
2
10
1
（－∞，－1）∪（1，＋∞） ［由题意构造函数F（x）＝f（x）－2x，则111
F′（x）＝f′（x）－2.因为f′（x）＜2，所以F′（x）＝f′（x）－2＜0，即函数F（x）在R上单调递减.
x21x212
因为f（x）＜2＋2，f（1）＝1，所以f（x）－2＜f（1）－2，所以F（x2）
2
＜F（1），又函数F（x）在R上单调递减，所以x2＞1，即x∈（－∞，（1，＋∞）.］
11
1）∪－
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