2018-2019年最新江苏省常州高级中学自主招生考试
数学模拟精品试卷
（第一套）
考试时间：90分钟 总分：150分
一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请你把正确选项前的字母填涂在答题卷中相应的格子内．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．
1．下列事件中，必然事件是( ) A．掷一枚硬币，正面朝上 B．a是实数，|a|≥0
C．某运动员跳高的最好成绩是20.1米
D．从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品
2、如图是奥迪汽车的标志，则标志图中所包含的图形变换没有的是（ ）
A．平移变换 B．轴对称变换 C．旋转变换 D．相似变换
3．如果□×3ab＝3a2b，则□内应填的代数式( )
A．ab B．3ab C．a D．3a
4．一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根
5、割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周
O
长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。试用这个方法解决问题：如图，⊙的内接多边形周长为3 ，⊙O的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（ ） A．6 B．8 C．10 D．17
6、今年5月，我校举行“庆五四”歌咏比赛，有17位同学参加选拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前8名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道17位同学分数的（ ） A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差
7．如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可能是( )
??x＋1>0，A.???x－3>0??x＋1<0，C.???x－3>0
??x＋1>0， B. ?
??3－x>0??x＋1<0， D.?
??3－x>0
8．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，有最大值0 C．有最小值－1，有最大值3 D．有最小值－1，无最大值
9．如图，矩形OABC的边OA长为2 ，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )
A．2.5 B．2 2 C.3 D.5
10．江苏省常州高级中学广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 11、两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
（A）两个外离的圆 （B）两个外切的圆（C）两个相交的圆 （D）两个内切的圆
水平面主视方向
12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：
①b－4ac>0； ②abc>0； ③8a＋c>0； ④9a＋3b＋c<0.
其中，正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
2
二、填空题（本小题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案
1
13．当x______时，分式有意义．
3－x14．在实数范围内分解因式：2a3－16a＝________.
15．在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘－131，其浓度为0.0000963贝克/立方米．数据“0.0000963”用科学记数法可表示为________．
16．如图，C岛在A岛的北偏东60°方向，在B岛的北偏西45°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB＝________.
17．若一次函数y＝(2m－1)x＋3－2m的图象经过 一、二、四象限，则m的取值范围是________．
18．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形有________个小圆. (用含 n 的代数式表示)
三、解答题（本大题7个小题，共90分）
19．（本题共2个小题，每题8分，共16分） （1）.计算：(2011－1)0＋18sin45°－2－1
（2）．先化简，再计算： x2－1?2x－1?2
??x－÷，其中x是一元二次方程x－2x－2＝0的正数
x?x2＋x?
根．
20．（本题共2个小题，每题6分，共12分） （1）.如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x2＋17) cm，正六边形的边长为(x2＋2x) cm(其中x>0)．求这两段铁丝的总长．
（2）．描述证明
海宝在研究数学问题时发现了一个有趣的现象：
将上图横线处补充完整，并加以证明．
21．（本题12分）某初中学校欲向高一级学校推荐一名学生，根据规定的推荐程序：首先由本年级200名学生民主投票，每人只能推荐一人(不设弃权票)，选出了票数最多的甲、乙、丙三人．票数结果统计如图一：
其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试．各项成绩如下表所示：
测试项目 测试测试测试成 成绩成绩/绩/分 /分 分 甲 乙 丙 笔试 92 90 95 面试 85 95 80 图二是某同学根据上表绘制的一个不完全的条形图． 请你根据以上信息解答下列问题： (1)补全图一和图二；
(2)请计算每名候选人的得票数；
(3)若每名候选人得一票记1分，投票、笔试、面试三项得分按照2∶5∶3的比确定，计算三名候选人的平均成绩，成绩高的将被录取，应该录取谁？
22．（本题12分）如图，已知直线AB与x轴交于点C，与双曲k20
线y＝交于A(3，)、B(－5，a)两点．AD⊥x轴于点D，BE∥x轴
x3且与y轴交于点E.
(1)求点B的坐标及直线AB的解析式； (2)判断四边形CBED的形状，并说明理由． 23、（本题12分）如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A， AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF=AE． （1）试判断BF与⊙O的位置关系，并说明理由； (2）若⊙O的半径为2．∠F=60，求弓形AB的面积
OEDCAFBk24．（本题12分）已知双曲线y＝与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于
xA(2,3)、B(m,2)、c(－3，n)三点．
(1)求双曲线与抛物线的解析式；
(2)在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C，并求出△ABC的面积．
25．（本题共2个小题，每题7分，共14分） （1）观察下列算式：
① 1 × 3－22＝3－4＝－1 ② 2 × 4－32＝8－9＝－1 ③ 3 × 5－42＝15－16＝－1 ④ __________________________ ……
(1)请你按以上规律写出第4个算式； (2)把这个规律用含字母的式子表示出来；
(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
（2）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点. 已知反比例函数yk＝(k>0)的图象经过点A(2，m)，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOBx1
的面积为.
2
(1)求k和m的值；
k(2)点C(x，y)在反比例函数y＝的图象上，求当1≤x≤3时函
x数值y的取值范围；
k(3)过原点O的直线l与反比例函数y＝的图象交于P、Q两点，
x试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值.
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数学模拟精品试卷答案
（第一套）
1.答案 B
解析 据绝对值的意义，一个数的绝对值是一个非负数，|a|≥0.
2.C 3.答案 C
解析 □＝3a2b÷3ab＝a. 4.答案 A
解析 x(x－2)＝0，x＝0或x－2＝0，x1＝0，x2＝2，方程有两个不相等的实数根．
5.C 6.A 7.答案 B 1 ??x＋1>0， 解析 观察数轴，可知－1 ?3－x>0? 的解集为－ 8.答案 C 解析 当0≤x≤3时，观察图象，可得图象上最低点(1，－1)，最高点(3,3)，函数有最小值－1，最大值3. 9.答案 D 解析 在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，所以OB＝12＋22＝5 10.答案 A 解析 y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，抛物线开口向下，函数有最大值4. 11.D 12.答案 D 解析 由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△＝b2－4ac>0，故①正确．抛物线开口向上，得a>0；又对称轴为直线x＝－ b＝1，b＝－2a<0.抛物线交y轴于负半轴，得 2ac<0，所以abc>0，②正确．根据图象，可知当x＝－2时，y>0，即4a－2b＋c>0，把b＝－2a代入，得4a－2(－2a)＋c＝8a＋c>0，故③正确．当x＝－1时，y<0，所以x＝3时，也有y<0，即9a＋3b＋c<0，故④正确． 二．填空题 13.答案 ≠3 解析 因为分式有意义，所以3－x≠0，即x≠3. 14.答案 2a(a＋2 2)(a－2 2) 15.答案 9.63×10－5 解析 0.0000963＝9.63×10－5. 16.答案 105° 解析 如图，∵(60°＋∠CAB)＋(45°＋∠ABC)＝180°，∴∠ CAB＋∠ABC＝75°，在△ABC中，得∠C＝105°. 117.答案 m< 2 ??2m－1<0， 解析 因为直线经过第一、二、四象限，所以? ??3－2m>0， 解 1 之，得m<. 2 18.答案 n(n＋1)＋4或n2＋n＋4 解析 第1个图形有2＋4＝(1×2＋4)个小圆，第2个图形6＋4＝(2×3＋4)个小圆，第3个图形有12＋4＝(3×4＋4)个小圆，……第n个图形有[n(n＋1)＋4]个小圆． 三、解答题（本大题7个小题，共90分） 19．（本题共2个小题，每题8分，共16分） 211 （1）.解：原式＝1＋3 2×－＝3. 222 x＋1x－1x2－2x＋1x－1x（2）解：原式＝÷＝·xx＋1xxx－1 1 . x－1 解方程得x2－2x－2＝0得， x1＝1＋3>0，x2＝1－3<0. 当x＝1＋3时， 113 原式＝＝＝. 1＋3－133 2 ＝ 20.（1）.解：由已知得，正五边形周长为5(x2＋17) cm，正六边形周长为6(x2＋2x) cm. 因为正五边形和正六边形的周长相等， 所以5(x2＋17)＝6(x2＋2x)． 整理得x2＋12x－85＝0，配方得(x＋6)2＝121， 解得x1＝5，x2＝－17(舍去)． 故正五边形的周长为5×(52＋17)＝210(cm)． 又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420 cm. 答：这两段铁丝的总长为420 cm. ab（2）解：如果＋＋2＝ab，那么a＋b＝ab. baaba2＋b2＋2ab证明：∵＋＋2＝ab，∴＝ab， baab∴a2＋b2＋2ab＝(ab)2，∴(a＋b)2＝(ab)2， ∵a>0，b>0，a＋b>0，ab>0， ∴a＋b＝ab. 21.解：(1)乙30%；图二略． (2)甲的票数是：200×34%＝68(票)， 乙的票数是：200×30%＝60(票)， 丙的票数是：200×28%＝56(票)， 68×2＋92×5＋85×3 (3)甲的平均成绩：x1＝＝85.1， 2＋5＋3 60×2＋90×5＋95×3 乙的平均成绩：x2＝＝85.5， 2＋5＋3 56×2＋95×5＋80×3 丙的平均成绩：x3＝＝82.7， 2＋5＋3 ∵乙的平均成绩最高，∴应该录取乙． k20 22.解：(1)∵双曲线y＝过A(3，)，∴k＝20. x320 把B(－5，a)代入y＝，得a＝－4. x∴点B的坐标是(－5，－4). 设直线AB的解析式为y＝mx＋n， 20 将 A(3，)、B(－5，－4)代入得， 3 ?20 ?＝3m＋n?3 4＝－5m＋n， 48 解得：m＝，n＝. 33 48 ∴直线AB的解析式为：y＝x＋. 33(2)四边形CBED是菱形．理由如下： 易求得点D的坐标是(3,0)，点C的坐标是(－2,0)． ∵ BE//x轴， ∴点E的坐标是(0，－4)． 而CD＝5, BE＝5, 且BE//CD. ∴四边形CBED是平行四边形. 在Rt△OED中，ED2＝OE2＋OD2, ∴ ED＝32＋42＝5，∴ED＝CD. ∴四边形CBED是菱形. 23.解：证明：（1）BF与⊙O相切，连接OB、OA，连接BD， ∵AD⊥AB，∴∠BAD=90°， ∴BD是直径，∴BD过圆心. ∵AB=AC，∴∠ABC=∠C， ∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D， ∵AD⊥AB，∴∠ABD+∠D=90°， ∵AF=AE，∴∠EBA=∠FBA， ∴∠ABD+∠FBA=90°， ∴OB⊥BF， ∴BF是⊙O切线. (2)∵∠F=600，∴∠D=900-∠F=300,∴∠AOB=600,∴△AOB为等边三角形.. 600?22322???2??3. S弓形AB= 360043 k24.解：(1)把点A(2,3)代入y＝得：k＝6. x∴反比例函数的解析式为：y＝. 6 把点B(m,2)、C(－3，n)分别代入y＝得： m＝3，n＝－2. 6xx把A(2,3)、B(3,2)、C(－3，－2)分别代入y＝ax2＋bx＋c得：4a＋2b＋c＝3，?? ?9a＋3b＋c＝2，??9a－3b＋c＝－2， ? ?解之得 ?2 b＝，?3?c＝3. 1a＝－， 3 122 ∴抛物线的解析式为：y＝－x＋x＋3. 33 (2)描点画图(如图)： S△ABC＝(1＋6)×5－×1×1－×6×4＝－－12＝5. 25.（1）.解：(1)4×6－52＝24－25＝－1. (2)答案不唯一．如n(n＋2)－(n＋1)2＝－1. 2 (3)n(n＋2)－(n＋1)2 ＝n2＋2n－(n＋2n＋1) ＝n2＋2n－n2－2n－1 ＝－1. 所以一定成立． （2）解：(1)∵A(2，m)，∴OB＝2，AB＝m， 1111 ∴S△AOB＝OB·AB＝×2×m＝，∴m＝. 2222 1 ∴点A的坐标为(2，)． 2 1k1k把A(2，)代入y＝，得＝，∴k＝1. 2x22 1 (2)∵当x＝1时，y＝1；当x＝3时，y＝， 3 1 又∵反比例函数y＝在x>0时，y随x的增大而减小， 12121235122 x1 ∴当1≤x≤3时，y的取值范围为≤y≤1. 3 (3) 由图象可得，线段PQ长度的最小值为2 2. 2018-2019年最新江苏省常州高级中学自主招生考试 数学模拟精品试卷 （第二套） 考试时间：90分钟 总分：150分 第I卷 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、下列计算中，正确的是( ) A．20?0 B． (a3)2?a6 C． 9??3 D．a?a?a2 2、如右图，在□ABCD中，AC平分∠DAB，AB = 3， 则□ABCD的周长为( ) A．6 B．9 C．12 D．15 3、已知二次函数y?ax2?bx?c（a?0）的图 象如右图所 示，则下列结论 ①a?b?c?0 ②a?b?c?0 ③b?2a?0 ④abc?0 中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4、如图是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（ ） (1)(2) (3) （A）25 （B）66 （C）91 （D）120 5、有如下结论（1）有两边及一角对应相等的两个三角形全等；（2）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；（3）对角线相等的四边形是矩形；（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。其中正确结论的个数为（ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 6、在1000个数据中，用适当的方法抽取50个作为样本进行统计， 频数分布表中，54.5~57.5这一组的频率是0.12，那么，估计总体数据落在54.5~57.5之间的约有 （ ） （A）6个 （B）12个 （C）60个 （D）120个 7、若m、n（m A. m < a < b< n B. a < m < n < b C. a < m < b< n D. m < a < n < b 8、若直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（ ） A、ab=h B、1+1=1 C、 abh1a2+ 1b2= 1h2 D、a2 +b2=2h2 9、如右图，正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的 点，且AE＝BF＝CG＝DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE为x，则y关于x的函数图象大致是（ ） A、 B、 C、 D、 10、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，每个顶点处每种正多边形 各一块拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为 x、y、z，则??的值为（ ） （A）1 二、填空题（每小题5分，共30分） 11、根据右图中的抛物线可以判断： 当x________时，y随x的增大而减小. 12、函数y?x?2x2?x?21x1y1z（B） 23（C） 12（D） 13中，自变量x的取值范围是__________. 13、如果关于x的一元二次方程2x2－2x＋3m－1＝0有两个实数根x1， x2，且它们满足不等式是 。 14、甲、乙、丙三辆车都匀速从A地驶往B地．乙车比丙车晚5分钟 出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，则甲车出发后 分钟追上乙车． 15、在平面直角坐标系中，平行四边形四个顶点中，有三个顶点坐标分别是（-2，5），（-3，-1），（1，-1），若另外一个顶点在第二象限，则另外一个顶点的坐标是__________. x1x2?1，则实数m的取值范围 x1?x2?316、如下图，四边形的两条对角线AC、BD所成的角为?，当AC + BD = 10时，四边形ABCD的面积最大值是 。 A D C ?B 2018-2019年最新江苏省常州高级中学自主招生考试 数学模拟精品试卷 （第一套） 第Ⅱ卷（含Ⅰ卷答题卡） 一、选择题 (每小题5分，共计50分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空题(每小题5分，共计30分) 11、____________ 12、____________ 13、___________ 14、____________ 15、____________ 16、____________ 三、解答题（共6个小题，满分70分，写出解题过程） ?3??12009?1?2cos45°?(2?1)?(?1)17、（8分） 计算：|3.14?π|?3.14?? ??2???0 x105x3?x218、（8分）先化简，再求值：， ???x?2x2?4x?2x2?x?2其中x??22?1?2(tan45??cos30?)0. 2?1 19、（12分）已知?ABC的两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程 x2?(2k?3)x?k2?3k?2?0的两个实数根，第三边长为5. （1）k为何值时，?ABC是以BC为斜边的直角三角形 （2）k为何值时，?ABC是等腰三角形，并求?ABC的周长 20、（12分）某土产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售。按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题 (1)如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案 有几种?并写出每种安排方案。 (2)若要使此次销售获利最大，应采用(1)中哪种安排方案?并求出最 大利润的值。 4 21、（15分）如图，在△ABC中，AB＝AC，cosA＝．以AB为直径作 5半圆，圆心为O， 半圆分别交BC、AC于点D、E． （1）求证：CD＝BD； 土特产种类 每辆汽车运载量（吨） 每吨土特产获利（百元） 12 16 10 甲 8 乙 丙 6 5 CE（2）求的值； AE（3）若过点D的直线与⊙O相切，且交AB的延长线于点P，交AC于点Q， CQ求的值． BP 22、（15分）已知：直线y?x?1与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线y?x2?bx?c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且 1212B点坐标为 （1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标． （3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM?MC|的值最大，求出点M的坐标． A y E 数 学 试 题 参 考 答 案 O D 一、选择题：(每小题5分，共计50分) B C x 1 B 2 C 3 B 4 C 5 A 6 D 7 A 8 C 9 B 10 C 二、填空题：(每小题5分，共计30分) 11、<1 12、x>-2且x?1 13、 -1﹤m≤ 14、180 15、（-6，5） 16、 25sin? 212三.解答题（共6个小题，满分70分，写出解题过程） 17 、 解 ： 原 式 ??(3.14?π)?3.14?1?2?21??(?1) ……………………5分 22?12?1?1 ……………2?1?π?3.14?3.14?2?………7分 ?π2? 2?1?1??π …… ………………8分 18 x?x?21?、 ??(x?0解 ?x??2x?2： )原 (x式 21x＝ ))52x(x ……………………2分 x?2x2(x?2)(x?1)????x?1 ………………x?2x?2x?2……4分 …………… ………6分 ? 原式 ?x?1?2?2 ……………………8分 19、解：（1）因为AB,AC是方程x2?(2k?3)x?k2?3k?2?0的两个实数根， 所 A?22以 B1 …………………… ?3分 又因为?ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC?5 所以AB2?AC2?BC2,所以(AB?AC)2?2AB?AC?25,……………………2分 即(2k?3)2?2(k2?3k?2)?25， 所以k2?3k?10?0所以k1??5,k2?2 ……………………4分 当k?2时，方程为x2?7x?12?0，解得x1?3,x2?4……………………5分 当k??5时，方程为x2?7x?12?0， 解得x1??3,x2??4（不合题意，舍去） ……………………6分 所以当k?2时，?ABC是以BC为斜边的直角三角形。 （2）若?ABC是等腰三角形， 则有①AB?AC②AB?BC③AC?BC三种情况。 ……………………7分 因为??(2k?3)2?4(k2?3k?2)?1?0， 所 以 A?B，故第①种情况不成 立。 ……………………8分 所以当AB?BC或AC?BC时,5是x2?(2k?3)x?k2?3k?2?0的根， 所以25?5(2k?3)?k2?3k?2?0,k2?7k?12?0，解得k1?3,k2?4……10分 当k?3时，x2?9x?20?0所以x1?4,x2?5， 所以等腰?ABC的三边长分别为5、5、4，周长是14 ……………………11分 当k?4时，x2?11x?30?0所以x1?5,x2?6， 所以等腰?ABC的三边长分别为5、5、6，周长是16. ……………………12分 20、解：（1）设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y， 8x+6y+5(20 ― x ― y)=120 ……………………2分 ∴y=20―3x ∴y与x之间的函数关系式为y=20―3x ……………………3分 由x≥3，y=20－3x≥3， 20―x―(20―3x)≥3可得3?x?5 又 ∵ x 为 正 整 数 ∴ x=3 ， 4 ， 235 …………………………………………5分 故车辆的安排有三种方案，即： 方案一：甲种3辆 乙种11辆 丙种6辆 方案二：甲种4辆 乙种8辆 丙种8辆 方案三：甲种5辆 乙种5辆 丙种10辆…………………………8分 （2）设此次销售利润为W元， W=8x·12+6(20－3x)·16+5[20－x－(20－3x)]·10=－92x+1920………10分 ∵W 随 x 的增大而减小 又 x=3，4， 5 ……………………11分 ∴ 当 x=3 时，W 最 大 =1644（百元）=16.44万 元 ……………………12分 答：要使此次销售获利最大，应采用（1）中方案一，即甲种3辆，乙种11辆，丙种6辆，最大利润为16.44万元。 21、（1）证明：如图（1）连结AD．………………1分 ∵点D在以AB为直径的半圆上， ∴AD⊥BC．………………………………2分 又∵AB＝AC，∴CD＝BD．……………3分 （2）如图（2）连结EB． …………………………4分 ∵点E在以AB为直径的半圆上， ∴BE⊥ 4AE4 在RtAEB中，∵cosA＝，∴＝．……… 5AB5 E D A O (第21题)（1） Q C B Q C E D P P A O (第21题)（2） B AC． …………………5分 6分 设AE＝4k，则AB＝5k， 又∵AB＝AC， ∴CE＝AC－AE＝5k－4k＝k． CEk1 ∴＝＝． ………………………………8分 AE 4k4 （3）如图（3）连结OD． …………………9分 ∵CD＝BD，AO＝BO， ∴OD是△ABC的中位线．∴OD∥ AC． ……10分 ∵过点D的直线PQ与⊙O相切， ∴OD⊥ Q C D H A O (第21题)（3） B P PQ． …………………………………11分 过B作BH⊥PQ，H为垂足，∴BH∥OD∥ AC． 易证△DBH≌△DCQ，∴QC＝BH．………13分 BH在Rt△PBH中，cos∠HBP＝， BPBH∴= cos∠HBP＝cosA BP4BH4CQ4 ∵cosA＝，∴＝．即＝．……………15分 5BP5BP5 22、解：（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入y?x2?bx?c得 3?1?c?b???? 解得?2 ?10??b?c???2?c?1 12∴抛物线的解折式为 y?123x?x?1．x………………………………2分 22123 k（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为m?m?1 22则E（m，m2?m?1）． 又∵点E在直线y?x?1上， ∴m2?m?1?m?1． 解得m1?0（舍去），m2?4． ∴E的坐标为（4，3）．………………………………4分 （Ⅰ）当A为直角顶点时 0)． 过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1(a，A y E 123212123212 易知D点坐标为（?2，0）． 由Rt△AOD∽Rt△POA得 DOOA211?即?，∴a?． 2OAOP1aD C P3 F P2 O P1 B M x ?∴P1?0?．………………………………6分 ?，?1?2（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，P2点坐标为（0）．）…………………………8分 11，20)． （Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3(b，由?OPA??FPE?90°，得?OPA??FEP． Rt△AOP∽Rt△PFE． AOOP1b??由得． PFEF4?b3解得b1?1，b2?3． ∴此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0）．…………………………… 10分 综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（ 11，0） 23212（3）抛物线的对称轴为x?．………………………………11分 ∵B、C关于x?3对称， 2∴MC?MB． ………………………………12分 要 使 |AM?MC|最大，即是使 |AM?MB|最 大．………………………………13分 由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时 |AM?MB|的值最大． 易知直线AB的解折式为y??x?1． 3??y??x?1x???2∴由?3 得??x???y??1?2??21）．……………………………15分 2 ∴M（ 32，－ 2018-2019年最新江苏省常州高级中学自主招生考试 数学模拟精品试卷 （第三套） 考试时间：90分钟 总分：150分 （A卷共100分） 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1、下列四个点中，在双曲线y?上的点是（ ）。A、(1，1) B、 2x(－1，2) C、(1，－2) D、(1，2) 2、 .一元二次方程x2?2x?1?0的根的情况为（ ） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根 3、某几何体的三视图如下所示，则该几何体可以是（ ）． 4、Rt△ABC中,∠C=90°,已知cosA=3,那么tanA等于( )A.4 53B.3 C.4 D.5 4545、现有2008年奥运会福娃卡片20张，其中贝贝6张，京京5张，欢欢4张，迎迎3张，妮妮2张，每张卡片大小、质地均匀相同，将画有福娃的一面朝下反扣在桌子上，从中随机抽取一张，抽到京京的概率是 （ ） A、 1131 B、 C、 D、 5101046、如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高h=6m，迎水斜坡AB=10m，斜坡的坡角为α，则tanα的值为( ) A、 B、 C、 D、 7、如图所示，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长是（ ）。 35454334A、12 B、18 C、24 D、30 8、下列命题中，假命题是（ ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线相等 C．等腰梯形的对角线相等 D．菱形的对角线相等且互相平分 9、如图，AB是⊙O直径，?AOC?130，则?D?（ ） A．65 B．25 C．15 D．35 ?10、二次函数y?ax2?bx?c的图像如图所示，则点Q? ?a，?在（ ） ?cb?A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (第6题图) A h q B A E O C B (第7题图) D D B O A O C （第9题图） y x （第10题图） 二、填空题：（每小题4分，共16分）将答案直接写在该题目中的横线上. 11．在Rt△ABC中，?C?90，AC?5，BC?4， 则cosA? ． 12、小华在解一元二次方程x2?4x?0时，只得出一个根是x?4， 则被他漏掉的一个根是x? A C D O B 13、如图，⊙O的半径是10cm，弦AB的长是12cm，OC是⊙O的 半径且OC?AB，垂足为D，则CD=__________cm. 14、如图，半径为2的两圆均与y轴相切于点O，反比例函数 y?（k?0）的图像与两圆分别交于点A，B，C，D， 则图中阴影部分的面积是 ． 三、（第15题每小题6分，第16题6分，共18分） 1?015、（1）计算：????2009??25?20 ?6??1（第13题 kxy C 2 D －2 A O1 O O2 B 第14题图 x （2）先化简，再求值 42x?? ，其中 x= 3 . 2x?16x?4x?4y 16.如图，在平面直角坐标系中，已知点B(4，2)，BA⊥x轴于A． B 1 O 1 A x （1）求tan?BOA的值； （2）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点C，求点C的坐标； （3）将△O点A的对应点是A?，点B的对应点B?AB平移得到△O?A?B?，的坐标为(2， ?2)，在坐标系中作出△O?A?B?，并写出点O?、A?的坐标． 四、（每小题8分，共16分） 17、 小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选．于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1、2、3、4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为奇数，则小明先挑选；否则小亮先挑选． （1）用树状图或列表法求出小明先挑选的概率； （2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 18、为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A北偏西45?并距该岛20海里的B处待命．位于该岛正西方向C处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60?的方向有我军护航舰（如图9所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C处？（结果精确到个位．参考数据：2≈1.4，3≈1.7） C 60° 北 B 45° A 18 北 五、（每小题10分，共20分） 19、（2009年重庆）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x、y轴交于点B、A，与反比例函数的图象分别交于点C、D， 1CE⊥x轴于点E，tan?ABO?，OB?4，OE?2． 2（1）求该反比例函数的解析式； （2）求直线AB的解析式． y C A B O x D E 19题图 20、如图，一次函数y??x?2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点， y12kP为AB的中点，PC?x轴于点C，延长PC交反比例函数y?(x?0)的xQACPBOx图象于点Q，且tan?AOQ?． （1）求k的值； （2）连结OP、AQ，求证：四边形APOQ是菱形． B 卷 （共50分） 一、填空题：（每小题4分，共20分） 21、将抛物线y?x2的图像向右平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为___________ 22、如图，A、B是双曲线y?的一个分支上的两点，且点B(a，b)在点A的右侧，则b的取值范围是_______________。 23、若b?1?a?4?0，且一元二次方程kx2?ax?b?0有两个实数根，则k的取值范围是________； 24、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD?3，BC?5，AC，BD相交于O点，且∠BOC?60，顺次连结等腰梯形各边中点所得四边形的周长是 ． 25、如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线 k x 12交AB于E，交⊙O 于D．则弦AD的长 y 2 O A B x A O D是 。． B 1 第22题图 C 第25题图 第24题图 二、（共8分） 26、为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表： 型号 占地面积 (单位:m2/个 ) 15 20 使用农户数 (单位:户/个) 18 30 造价 (单位: 万元/个) 2 3 A B 已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m2，该村农户共有492户． (1)满足条件的方案共有几种?写出解答过程． (2)通过计算判断，哪种建造方案最省钱． 三、（共10分） 27．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC?PC，?COB?2?PCB． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）求证：BC?AB； （3）点M是AB的中点，CM交AB于点N，若AB?4，求MN ·MC的值． 四、（共12分） 28、如图（1），在平面直角坐标系中，二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝． （1）求这个二次函数的表达式． （2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度． （4）如图（2），若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的 1312A C O N B M 面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积. y _ E _ A _ _ O B _ C _ D _ _ （1） y _ _x C _ A _ _ （O _ 2） D _ 2018-2019年最新江苏省常州高级中学自主招生考试 数学模拟精品试卷答案 （第三套） 1.D 2.B 3.A 4.A 5.C 6.D 7.C 8.D 9.B 10.C 11. 541 12.0 13.2 14.2∏ 41?11?015.（1）解：???2009?|?25|?20 ???6? ?6?1?25?25 ?5．…………………………………………………(6分) （2）解：原式=(2分) 2x…………………………………………(3分) ?x?4x?4x?2 ＝………………………………………………………………… x?44x?4x??………………………………… (x?4)(x?4)2x?4 = (4分) 当 x?3时，原式= 5……………………………………………………(6分) 716．解：（1）点B(4，2)，BA⊥x轴于A， ?OA?4，BA?2， ?tan?BOA?AB21??． ···· （2分） OA42O? y C D B 1 O 1 A B? A? x （2）如图，由旋转可知：CD?BA?2，OD?OA?4， ?点C的坐标是(?2，4)． ···· （4分） （3）△O?A?B?如图所示， O?(?2，?4)，A?(2，?4)． ····· （6分） 17. 解：（1）根据题意可列表或树状图如下： 第一次 第二次 1 2 3 4 第一次摸球 第二次摸球 2 1 3 4 1 2 3 4 1 3 2 4 1 4 2 3 1 2 3 4 —— （2，1） （3，1） （4，1） （1，2） —— （3，2） （4，2） （1，3） （2，3） —— （4，3） （1，4） （2，4） （3，4） —— （1，2） （1，3） （1，4） （1，1） （2，3） （2，4） （3，1） （3，2） （3，4）（ 4，1） （4，2） （4，3） 从表或树状图可以看出所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，符合条件的结果有8种， ∴P（和为奇数）? （2）不公平． ∵小明先挑选的概率是P（和为奇数）小亮先挑选的概率是P（和?，为偶数）?， ∵?，∴不公平． 231313232318.解：由图可知，∠ACB?30?，∠BAC?45? · 1分 作BD?AC于D（如图）， 在Rt△ADB中，AB?20 2?102·· 2分 ∴BD?ABsin45°?20?2北 B 60° C D 45° A 北 在Rt△BDC中，∠ACB?30? ∴BC?2?102?202≈28 ···· 4分 ∴ 28≈0.47 ···················· 6分 60 ∴0.47?60?28.2≈28（分钟） ············ 7分 答：我护航舰约需28分钟就可到达该商船所在的位置C． 8分 19.解：（1）OB?4，OE?2，?BE?2?4?6． CE⊥x轴于点E． ?tan?ABO?CE1（1分） ?，?CE?3． ············ BE2?点C的坐标为C??2，3?． ·············· （2分） m(m?0)． x设反比例函数的解析式为y?将点C的坐标代入，得3?m， ············ （3分） ?2（4分） ?m??6． ····················· ?该反比例函数的解析式为y??6． ·········· （5分） x（2）OB?4，?B(4，（6分） 0)． ·············· tan?ABO?OA1?， OB2················· （7分） 2)． ?OA?2，?A(0，设直线AB的解析式为y?kx?b(k?0)． 将点A、B的坐标分别代入，得??b?2， ········ （8分） ?4k?b?0.1??k??，解得?···················· （9分） 2 ??b?2.1?直线AB的解析式为y??x?2． ··············· 220.解：（1）y??x?2， 令y?0，得x??4,即A(?4,0)． ?2)．令x?0，得y??2,即B(0， 12?OA?4，OB?2． ······················ 2分 PC?x轴，?AOB?90°， ?PC∥BO． ························· 3分 又P为AB的中点，?C为AO中点． ?PC是△ABO的中位线，AC?CO． ?PC?1BO?1，OC?2． ···················· 4分 212QC1?． CO2?又tan?AOQ?，?QC?1．?Q(?21)，． ······················ 5分 1)代入y?，得k??2．把Q(?2， ················· 6分 kx（2）证明：由（1）可知QC?PC?1，AC?CO?2，且AO?PQ， ··· 8分 ?四边形APOQ是菱形． ··················· 10分 21.y=(x-3)2 22. 0＜b＜2 23. k≤4且k≠0 24. 16 25. 52cm 26.解: (1) 设建造A型沼气池 x 个，则建造B 型沼气池(20－x )个………1分 依 题 意 得 分 ≤ : ?15x?20?20?x??365 …………………………………………3???18x?3020?x?492?解得：7≤ x 9 ………………………………………………………………4分 ∵ x为整数 ∴ x = 7，8 ，9 ，∴满足条件的方案有三种．. ……………5分 (2)设建造A型沼气池 x 个时，总费用为y万元，则： y = 2x + 3( 20 － x) = －x+ 60 ………………………………………………6分 ∵－1< 0，∴y 随x 增大而减小， 当 x=9 时，y的值最小，此时y= 51( 万 元 ) …………………………………7分 ∴此时方案为：建造A型沼气池9个，建造B型沼气池11个． ……………8分 解法②:由(1)知共有三种方案，其费用分别为： 方案一: 建造A型沼气池7个， 建造B型沼气池13个， 总费用为:7×2 + 13×3 = 53( 万元 ) ……………………………6分 方案二: 建造A型沼气池8个， 建造B型沼气池12个， 总费用为:8×2 + 12×3 = 52( 万元 ) ……………………………7分 方案三: 建造A型沼气池9个， 建造B型沼气池11个， 总费用为:9×2 + 11×3 = 51( 万元 ) ∴方案三最省钱. …………………………………………… 8分 27.解：（1）OA?OC，??A??ACO， 又?COB?2?A，?COB?2?PCB， ??A??ACO??PCB． A C O N B M P 又AB是⊙O的直径， ??ACO??OCB?90°， ??PCB??OCB?90°，即OC⊥CP， 而OC是⊙O的半径， ?PC是⊙O的切线． ················ （3分） （2）AC?PC，??A??P， ??A??ACO??PCB??P， 又?COB??A??ACO，?CBO??P??PCB， ??COB??CBO，?BC?OC，?BC?1········· （6分） AB． 2（3）连接MA，MB， 点M是AB的中点，AM=BM，??ACM??BCM， 而?ACM??ABM，??BCM??ABM，而?BMN??BMC， ?△MBN∽△MCB，?BMMN，∴MN·MC=BM2， ?MCBM又AB是⊙O的直径，AM=BM， ??AMB?90°，AM?BM． AB?4，?BM?22，∴MN·MC=BM=8 ········ （10分） 2 28证明: (1)连结AC ∵AB为直径, ∠ACB=900. ∵ , 且AB是直径 ∴AB⊥CD 即CE是Rt△ABC的高 ∴∠A=∠ECB, ∠ACE=∠EBC ∵CE是⊙O的切线 ∴∠FCB=∠A, CF2=FG·FB ∴∠FCB=∠ECB ∵∠BFC=∠CEB=900, CB=CB ∴△BCF≌△BCE ∴CE=CF, ∠FBC=∠CBE ∴CE2=FG·FB (2)∵∠CBF=∠CBE, ∠CBE=∠ACE ∴∠ACE=∠CBF ∴tan∠CBF= tan∠ACE=?∵AE=3, ∴12AE CE31??CE=6 CE2在Rt△ABC中, CE是高 ∴CE2=AE·EB, 即62=3EB, ∴EB=12 ∴⊙O的直径为: 12+3=15. （1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） …1分 ?a?b?c?0?将A、B、C三点的坐标代入得?9a?3b?c?0 ?c??3??a?1?解得：?b??2 ?c??3?所以这个二次函数的表达式为：y?x2?2x?3 方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）， 设该表达式为： y?a(x?1)(x?3)，将C点的坐标代入得：a?1， 所以这个二次函数 的表达式为：y?x2?2x?3。（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分） （2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3） 理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：y??x?3 ∴E点的坐标为（－3，0） 由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF ∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形 My1RRN∴存在点F，坐标为（2，－3） 方法二：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：AyO??x?3 rM∴E点的坐标为（－3，0） 1rNBx∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形 D∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合 ∴存在点F，坐标为（2，－3） （3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R）， 代入抛物线的表达式，解得R?1?17 …………6分 2②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0）， 则N（r+1，－r）， 代入抛物线的表达式，解得r?∴圆的半径为 ?1?17 ………7分 21?17?1?17或． ……………7分 22（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q， 易得G（2，－3），直线AG为y??x?1．……………8分 设P（x，x2?2x?3），则Q（x，－x－1），PQ??x2?x?2． S?APG?S?APQ?S?GPQ?121(?x2?x?2)?3 2当x?时，△APG的面积最大 此时P点的坐标为??,? 1?215?27?，S?APG的最大值为． 4?82018-2019年最新江苏省常州高级中学自主招生考试 数学模拟精品试卷 （第四套） 考试时间：90分钟 总分：150分 一．选择题（每小题5分，共40分） 1.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （ D ） A．2??3? B．8? 32 2 2 正（主）视 2 2 C． D．2??234???33?3 2 侧（左）视 俯视图 1x75系xOy的第一象限上图象的两点，满足y1?y2?，x2?x1?. 则 232.已知A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y?在平面直角坐标 S?AOB?（ B ） A．210111213 B. 2 C. 2 D. 2 111213143.有2 015个整数，任取其中2 014个相加，其和恰可取到1，2，…，2 014这2 014个不同的整数值. 则这2 015个整数之和为（ ） A．1 004 B. 1 005 C. 1 006 D. 1 008 3.设2 015个整数为x1，x2，…，x2015.记x1+x2+…+x2015=M.不妨设M-xi=i（i=1，2，…，2014），M-x2015=A.则2014M=1+2+…+2014+A.故A 除以2014的余数为1007.从而，A=1007，M=1008.当xi=1008-i（i=1， x2，…，2014），51=1时取到. 024.有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4 个，则取出的球的编号互不相同的概率为 ( D ) A. 5. B. 2. C. 1 D. 8 21372144、解 从10个球中取出4个，不同的取法有C10?210种.如果要求取 4出的球的编号互不相同，可以先从5个编号中选取4个编号，有C5种 选法.对于每一个编号，再选择球，有两种颜色可供挑选，所以取出 44的球的编号互不相同的取法有C5?2?80种.因此，取出的球的编号互 不相同的概率为 808. 故选（D）. ?210215. 使得3n?8是完全平方数的正整数n有 （ B ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5、解 当n?4时，易知3n?81不是完全平方数.故设n?k?4，其中k为正整数，则3n?81?81(3k?1).因为3n?81是完全平方数，而81是平方数，则一定存在正整数x，使得3k?1?x2，即3k?x2?1?(x?1)(x?1)，故 x?1,x?1都是 3的方幂. 又两个数x?1,x?1相差2，所以只可能是3和1，从而x?2,k?1. 因此，存在唯一的正整数n?k?4?5，使得3n?81为完全平方数.故选（B）. 6.如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于D，AD=9，BD=4，以C为圆心，CD为半径的圆与⊙O相交于P,Q两 点，弦PQ交CD于E，则PE?EQ的值是（ D ） A．24 B. 9 C. 36 D. 27 7.已知实系数一元二次方程x2+(1+a)x+a+b+1=0的两实根为x1,x2,且0 ＜x1＜1，x2＞1，则的取值范围（ ） A -1＜ 11bb1b?? B -1＜＜? C -2＜?? D -222aa2aba＜＜? ba128. 图中正方形ABCD边长为2，从各边往外作等边三角形ABE、BCF、CDG、DAH，则四边形AFGD的周长为 ( ) A.4+26+22 B. 2+26+22 C. 4+23 +42 D．4+23+4 2 二．填空题（每小题6分，共36分） 9.设由1～8的自然数写成的数列为a1，a2，…，a8.则a1?a2+a2?a3+a3?a4+a4?a5+a5?a6+a6?a7+a7?a8+a8?a1的最大值为 32 . 由题意记S=a1?a2+a2?a3+a3?a4+a4?a5+a5?a6+a6?a7+a7?a8+ a8?a1. 该式去掉绝对值符号，在这个和的任意加项中，得到一正、一负两个自然数，为了使和达到最大的可能值，只须由1～4取负，由5～8取正，于是，S=2[（8+7+6+5）-（4+3+2+1）]=32.如8?4+4?7+7?1+ 1?5+5?2+2?6+6?3+3?8=32. 2014?(k=1,2,?,100,则10.记?x?表示不超过实数x的最大整数，ak=????k?在这100个整数中，不同的整数的个数为 69 11.设非负实数x,y,z满足x+y+z=1,则t=9?x2+4?y2+1?z2的最小值为 37 12．如图所示，线段OA = OB = OC =1，∠AOB = 60o， ∠BOC = 30o，以OA，OB，OC为直径画3个圆，两两的交点为M，N，P，则阴影部分的曲边三角形的面积是 ． 解：如图，连接AC，AN，BN，AM，BM， MP，NP，OM，ON，OP，易知∠OPA=∠OPC =90o，∠ANO =∠BNO = 90o，∠BMO =∠CNO = 90o，所以A，P，C共线；A，N，B共线；B，M，C共线．由OA=OB=OC=1，可知P，M，N分别是AC，BC，AB的中点，MPNB为平行四边形，BN=MP，BM=NP，所以BN与MP长度相等，BM与NP长度相等，因此， 曲边三角形MPN的面积= SMPNB =1S△ABC， 2而 S△ABC = SAOCB – S△AOC = S△AOB + S△BOC – S△AOC=所以，曲边三角形MPN的面积=1S△ABC =23?1． 83113?1???4424， 13. 将一个4?4棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则 有 不同的染法.（用数字作答） 解：第一行染2个黑格有C42种染法.第一行染好后，有如下三种情况： （1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法； （2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有C42种染法，第四行的染法随之确定； （3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定. 因此，共有染法为6??1?6?4?2??90种.填90. 14.圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长 D为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周顺时针滚动。经过若干次滚动，点A第一次回到点P的位置， 2?2?___________． 则点A走过的路径的长度为____2DCA(P)ABC 三．解答题 15. （本题10分）解方程 1?1?111?1x?3x?22x?1 16．（本题12分） 17. （本题12分）在正方形ABCD中，P是以C为圆心，CB为半径的圆弧上一点，且PB＞PD，点Q在线段PB上，PQ=PD， ARAQ与DP交于点R，求的值 RQRQAPD14 过点B作DR的垂线，过点R作PB的平行线与HB交于点S，B连接HA，BD 由四边形ABCD为正方形，∠ABC=∠ADC=90° AD，AB为○C的切线， ∵∠BHD=∠ＢＡＤ＝９０° ∴ＢＨＡＤ四点共圆 于是∠ＡＢＨ ＝∠ＡＤＨ＝∠ＰＢＤ ∴∠PBH=∠DBA=45° 即∠HPB=45°=∠ABD=∠AHD ∴AH∥BP∴∠HAB=∠PDB ∴△HAB∽△PDB所以 ARAHAHAB2 ????RQPQPDBD2C 19.（本题12分）对参加数学竞赛的选手的准考证进行编号，最小号为0001，最大号为2014.无论哪名选手站出来统计本校其他所有选手准考证号数的平均值时，发现所得的平均值均为整数.问这所学校参加竞赛的选手最多有多少名？ 设该校共有n名选手参赛，其准考证号依次为 1?x1?x2???xn?1?xn?2014. 依题意知Sk?x1?x2??xn?xk(k?1,2,?,n)?Z?. n?1对任意i,j(1?i?j?n)均有Si?Sj?xj?xin?1?Z?.于是，xj?xi?n?1. 故xn?x1?(xn?xn?1)?(xn?1?xn?2)???(x2?x1)?(n?1)2 ?(n?1)2?xn?x1?2013?n?45. 由于 2014?1为整数，从而，n?1为2013的约数. n?1注意到，2013=3×11×61不超过45的最大约数为33.于是，n的最大值为34，即参赛选手最多有34名. 这样的 34 名选手的号码是可以实现的.如 xi?33i?32(i?1,2,?,33),x34?2014. 因此，该校参加竞赛的选手最多有34名. 20. （本题16分） （20分）AD是直角三角形ABC斜边BC上的高，（AB?AC），13、 I1,I2分别是?ABD,?ACD的内心，?AI1I2的外接圆O分别交AB,AC于 E,F，直线EF,BC交于点M； 证明：I1,I2分别是?ODM的内心与旁心． 证：如图，连DI1,DI2,BI1,AI2,I1F，由?EAF?900，则圆心O在EF上，设直径EF交AD于O?，并简记?ABC的三内角为A,B,C，由 ?I1BD?B1??DAC 22AFOEI1MI2??I2AD,?I1DB?450??I2DA， DIDB所以?DBI1∽?DAI2，得1?，且 DI2DA?I1DI2?900??BDA，故?I1DI2∽?BDA， BDC而?DI1I2?B,?AI1D?900?B， 2B， 2注意?AI1D??AI1F??FI1I2??DI1I2，?AI1F??AEF,?FI1I2??FAI2?所以?AEF?900?B?C??DAB，因此O?E?O?A，同理得O?F?O?A，故O?与O重合，即圆心O在AD上，而?EOD??OEA??OAE?2?OAE?2C， ?EOI1?2?EAI1??BAD?C，所以OI1平分?DOM； 同理得OI2平分?DOF，即I1是?ODM的内心，I2是?ODM的旁心． 证二：如图，因为?BAC?90?，故?AI1I2的外接圆圆心O在EF上，连OI1,OI2,I1D,I2D，则由I1,I2为内心知， ?I1AI2?45?， 所以 ?I1OI2?2?I1AI2?90???I1DI2， MEI1HAFOI2BDC于是O,I1,D,I2四点共圆，所以 ?I2I1O??I1I2O?45?，又因?I2DO??I2I1O?45???I2DA，因此点O在AD上，即O为EF与AD的交点．设AD与O交于另一点H，而由 ?EAI1??I1AH2， ?HAI2??FAI2，可知，I1,I2分别为EH,HF的中点，所以?EOI1??DOI1， ?DOI2??FOI2．因此，点I1,I2分别为?OMD的内心与旁心． 11．已知抛物线C：y?x2与直线l：y?kx?1没有公共点，设点 12 P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点． (1)证明：直线AB恒过定点Q； (2)若点P与（1）中的定点Q的连线交抛物线C于M，N两点，证明： PMPN?QMQN． 12证明 (1)设A(x1,y1)，则y1?x12． 由y?x2得y??x，所以y?|x?x?x1． 112于是抛物线C在A点处的切线方程为y?y1?x1(x?x1)，即y?x1x?y1． 设P(x0,kx0?1)，则有kx0?1?x0x1?y1． 设B(x2,y2)，同理有kx0?1?x0x2?y2． 所以AB的方程为kx0?1?x0x?y，即x0(x?k)?(y?1)?0， 所 以 直 线 AB恒过定点 Q(k,1)． ----------------7分 (2)PQ的方程为y?去y，得 kx0?21(x?k)?1，与抛物线方程y?x2联立，消x0?k22kx0?4(2k2?2)x0?2kx?x??0． x0?kx0?k2设M(x3,y3)，N(x4,y4)，则 2kx0?4(2k2?2)x0?2k ① x3?x4?,x3x4?x0?kx0?k要证 PMPN?QMQN，只需证明 x3?x0k?x3?，即 x4?x0x4?k2x3x4?(k?x0)(x3?x4)?2kx0?0 ② 由①知， ②式左边=2(2k2?2)x0?4kx?(k?x2kx0?40)k?2kx0 0?kx0??2(2k2?2)x0?4k?(k?x0)(2kx0?4)?2kx0(x0?k)x?k?0． 0故②式成立，从而结论立． ----------------------15分 成 某校 设该校共有n名选手参赛，其准考证号依次为 1?x1?x2???xn?1?xn?2014. 依题意知Sk?x1?x2??xn?xk(k?1,2,?,n)?Z?. n?1xj?xin?1?Z?. 对任意i,j(1?i?j?n)均有Si?Sj?于是，xj?xi?n?1. 故xn?x1?(xn?xn?1)?(xn?1?xn?2)???(x2?x1)?(n?1)2 ?(n?1)2?xn?x1?2013?n?45. 由于 2014?1为整数，从而，n?1为2013的约数. n?1注意到，2013=3×11×61不超过45的最大约数为33.于是，n的最大值为34，即参赛选手最多有34名. 这样的34名选手的号码是可以实现的.如 xi?33i?32(i?1,2,?,33),x34?2014. 因此，该校参加竞赛的选手最多有34名. 2018-2019年最新江苏省常州高级中学自主招生考试 数学模拟精品试卷 （第五套） 考试时间：90分钟 总分：150分 一、填空题（本大题共有8小题，每题4分，共32分） 3 1．在△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，a＝3，则b＝_______． 2 B A 20° E D C 2．同时抛掷两枚正方体骰子，所得点数之和为7的概率是_________． a＋b3．设a＞b＞0，a＋b＝4ab，则的值等于________． a－b2 2 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝20?，且AE＝AD，则∠CDE＝________． 5．已知实数x、y满足x2－2x＋4y＝5，则x＋2y的最大值为________． 6．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝3，BC＝5， AB＝1，把线段CD绕点D逆时针旋转90°到DE位置，连结AE， 则AE的长为_________． 7．将正偶数按下表排列： 第1 列 第1 2 行 第2 4 6 列 列 列 第2 第3 第4 A A B B E E DD C C 行 第3 8 行 第4 14 行 …… 16 18 20 10 12 根据上面的规律，则2006所在行、列分别是_____________． 8．如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方 主视图 俯视图 体的块数为n，则n的所有可能的值之和为_____________． 二、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） b＋ca＋ba＋c9．已知a、b、c为非零实数，且满足＝＝＝k，则一次 acb函数y＝kx＋(1＋k)的图象一定经过（ ） （A）第一、二、三象限 （C）第一象限 （B）第二、四象限 （D）第二象限 10．将直径为64cm的圆形铁皮，做成四个相同圆锥容器的侧面（不 浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的高为 （A）815cm （B）817cm （C）163cm （D）16cm （ ） 11．甲、乙、丙、丁四名运动员参加4×100米接力赛，甲必须为第 一接力棒或第四接力棒的运动员，那么这四名运动员在比赛过程中的接棒顺序有（ ） （A）3种 （B）4种 （C） 6种 （D）12种 12．如图，把一个边长为1的正方形经过三次对折后沿中位线（虚线） 剪下，则右图展开得到的图形的面积为（ ） （A）3 4（B）1 23（C）8 3（D）16 沿虚线剪开13．如图，圆柱形开口杯底部固定在长方体水池 底，向水池匀速注入水（倒在杯外），水池中水面高度是h，注水时间为t，则h与t之间的关系大致为下图中的（ ） A B C D O t O t O t O t h h h h ?2＞x－3 14．关于x的不等式组?只有4个整数解，则a的 取值 2x＋2 ?3＜x＋a范围是（ ） 14 （A）－5≤a≤－ 314 （C）－5＜a≤－ 3 14 （B）－5≤a＜－ 314 （D）－5＜a＜－ 3 x＋15 15．已知如图，则不含阴影部分的矩形的个数是（ ） （A）15 （C）25 （B）24 （D）26 8 10 13 16．在3×3方格上做填字游戏，要求每行每列 及对角线上三个方格中的数字和都等于S，又填在图中三格中的数字如图，若要能填成，则 （ ） （A）S＝24 （B）S＝30 （C）S＝31 （D）S＝39 三、解答题（本大题共6小题，满分66分）． 17．（本题10分）在“3.15”消费者权益日的活动中，对甲、乙两家 商场售后服务的满意度进行了抽查．如图反映了被抽查用户对两家商场售后服务的满意程度（以下称：用户满意度），分为很不满意、不满意、较满意、很满意四个等级，并依次记为1分、2分、3分、4分． （1）请问：甲商场的用户满意度分数的众数为______；乙商场的 用户满意度分数的众数为_____． （2）分别求出甲、乙两商场的用户满意度分数的平均值（计算结 果精确到0.01）． （3）请你根据所学的统计知识，判断哪家商场的用户满意度较高， 并简要说明理由． 1000 1000 500 100 2000 甲商场抽查用户数 乙商场抽查用户数 2000 2200 1300 900 1000 500 很不满意 不满意 较满意 很满意 18．（本题10分）已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE＝DC，连接AE、BD． （1）求证：△AGE≌△DAB （2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠ G A D E AFE的度数． B F C 19．（本题10分）某公司开发的960件新产品，需加工后才能投放市 场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用20天，而乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品．在加工过程中，公司需每天支付50元劳务费请工程师到厂进行技术指导． （1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？ （2）该公司要选择省时又省钱的工厂加工，乙工厂预计甲工厂将 向公司报加工费用为每天800元，请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，才可满足公司要求，有望加工这批产品． B P M O C A F y T N x 20．（本小题满分12分）如图，已知直线y＝－m(x－4)（m＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C．过 A作x轴的垂线AT，Ｍ是线段OB上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P．连结CN、CM． （1）证明：∠MCN＝90°； （2）设OM＝x，AN＝y，求y关于x的函数解析式； （3）若OM＝1，当m为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面 积． 21．（本题12分）已知平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、 BC上． （1）若AB＝10，AB与CD间距离为8，AE＝EB，BF＝FC，求△DEF的面积． EDEF的（2）若△ADE、△BEF、△CDF的面积分别为5、3、A4，求△B面积． 22．（本题12分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（1，2）． DFC（1）若a＝1，抛物线顶点为A，它与x轴交于两点B、C，且△ABC为等边三角形，求b的值． （2）若abc＝4，且a≥b≥c，求｜a｜＋｜b｜＋｜c｜的最小值． 参考答案 一．填空题（本大题共有8小题，每题4分，共32分）． 19 1．1 2． 3．3 4．10° 5． 6．25 7．第45行， 62第13列 8．38 二．选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9．D 10．A 11．D 12．A 13．B 14．C 15．C 16．B 三．解答题（本大题共6小题，满分66分）． 17．解：（1）3；3－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（２分） （2）甲商场抽查用户数为：500＋1000＋2000＋1000＝4500（户） 乙商场抽查用户数为：100＋900＋2200＋1300＝4500（户） －－－－－（３分） 所以甲商场满意度分数的平均数为： 500×1＋1000×2＋2000×3＋1000×4 ≈2.78（分）－－－－５分） 4500 乙商场满意度分数的平均值＝ 100×1＋900×2＋2200×3＋1300×4 ≈3.04（分） 4500 答：甲、乙两商场用户满意度分数的平均值分别为2.78分、3.04分.－－－－－－－－－－－（7分） （3）因为乙商场用户满意度分数的平均值较高(或较满意和很满意的人数较多)， 所以乙商场的用户满意度较高．－－－－－－－－－－－－－－－－ －－－－－－－－－－（10分） 18．解：（1）∵△ABC是等边三角形，DG∥BC， ∴△AGD是等边三角形 G A D E AG＝GD＝AD，∠AGD＝60° ∵DE＝DC，∴GE＝GD＋DE＝AD＋DC＝AC＝AB ∵∠AGD＝∠BAD，AG＝AD， B F C ∴△AGE≌△DAB －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（5分） （2）由（1）知AE＝BD，∠ABD＝∠AEG－－－－－（6分） ∵EF∥DB，DG∥BC，∴四边形BFED是平行四边形 －－－－－－－－－－－－－（7分） ∴EF＝BD， ∴EF＝AE． －－－－－－－－－－－－－－－－－（8分） ∵∠DBC＝∠DEF，∴∠ABD＋∠DBC＝∠AEG＋∠DEF，即∠AEF＝∠ABC＝60°（9分） ∴△ABC是等边三角形，∠AFE＝60° －－－－－－－－－－－－－－－－－（10分） 19．解：（1）设甲工厂每天加工x件，则乙工厂每天加工（x＋8）件 －－－－（1分） 960960 由题意得：－20 ＝ －－－－－－－－－－－－－－ xx＋8 －－－－－－－－（3分） 解之得：x1＝－24， x2＝16. 经检验，x1、x2均为所列方程的根，但x1＝－24 不合题意，舍去．此时x ＋8 ＝ 24． 答：甲工厂每天加工16件，乙工厂每天加工24件． －－－－－－－－－－（5分） （2）由（1）可知加工960件产品，甲工厂要60天，乙工厂要40天．所以甲工厂的加工总费用为60（800 ＋ 50）＝51000(元)． －－－－－－－－－－－－（6分） 设乙工厂报价为每天m元，则乙工厂的加工总费用为40（m ＋ 50）元 ． 由题意得：40（m ＋ 50）≤51000，解之得m≤1225 －－－－－－－－－（9分） 答：乙工厂所报加工费每天最多为1225元时，可满足公司要求，有望加工这批产品．－（10分） 20解（1）证明：∵AT⊥AO，OM⊥AO，AO是⊙C的直径， ∴AT、OM是⊙C的切线． 又∵MN切⊙C于点P B F P M 1 O 11 ∴∠CMN＝∠OMN，∠CNM＝∠ANM －－－（1分） 22 C 2 A x 3 y T N G ∵OM∥AN ∴∠ANM＋∠OMN ＝180° 11 ∴∠CMN＋∠CNM ＝∠OMN＋∠ANM 22 11 ＝(∠OMN＋∠ANM )＝90°， ∴∠CMN＝90° －－－－－－22－－－－－－（3分） （2）由（1）可知：∠1＋∠2 ＝ 90 °，而∠2 ＋∠3 ＝ 90 0，∴∠1 ＝∠3； OMOC∴Rt△MOC∽Rt△CAN ∴ ＝ －－－－－－－ ACAN－－－－－－（5分） ∵直线y＝－m(x – 4)交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（4，0）， ∴AC ＝CO ＝ 2 24 ∵ OM＝ x，AN ＝ y， ∵ ＝ ∴y ＝ －－－－－－－－ 2yx－－－－－－－（7分） （3）∵ OM ＝ 1，∴ AN ＝y ＝ 4，此时S四边形ANMO ＝ 10 ∵直线AB平分梯形ANMO的面积，∴ △ANF的面积为5 －－－－－－－－－－－－－－（8分） 15 过点F作FG⊥AN于G，则FG·AN＝5，∴FG＝ 22 53 ∴点F的横坐标为4－ ＝ －－－－－－－ 22－－－－－－－－－－－－－（9分） 3 ∵M（0，1），N（4，4） ∴直线MN的解析式为y＝ x＋1 － 4－10分） x17317 ∵F点在直线MN上，∴ F点的纵坐标为y＝ ∴ F（，） 828－－－－－－－－－（11分） 17317 ∵点F又在直线y＝－m(x－4)上 ∴ ＝－m(－4) ∴m＝ 8220－－－－－－－－（12分） 21．解：⑴∵AB＝10， AB与CD间距离为8， ∴ SABCD＝80 －－－－－－－（1分） ∵AE＝BE，BF＝CF． 111 ∴S△AED＝SABCD，S△BEF＝SABCD，S△DCF＝SABCD 484 3 ∴S△DEF＝SABCD－S△AED－S△BEF－S△DCF ＝SABCD＝30 8－－－－－－（4分） 8 ⑵设AB＝x，AB与CD间距离为y，由S△DCF＝4知F到CD的距离为 － D C A E F B x－－－－－－－－（5分） 818 则F到AB的距离为y－，∴S△BEF＝BE（y－）＝3， －－－－ x2x－－－（7分） 6x6xx(xy－14) ∴BE＝，AE＝x－＝． xy－8xy－8xy－8 11x(xy－14)S△AED＝AE×y＝××y＝5，得（xy）2－24 xy＋80＝0， 22xy－8 xy＝20或4－－－－（10分） ∵SABCD＝xy＞S△AED＝5，∴xy＝4不合，∴xy＝20 S△DEF＝SABCD－S△AED－S△BEF－S△DCF ＝20－5－3－4＝8 － －－－－－－－－－（12分） 22．解：⑴由题意，a＋b＋c＝2， ∵a＝1，∴b＋c＝1 －－－－－－－－－－－－（1分） 抛物线顶点为A（－，c－），设B（x1，0），C（x2，0）， 24∵x1＋x2＝－b，x1x2＝c，△＝b2－4c＞0 ∴｜BC｜＝｜ x1－x2｜＝| x1－x2|2＝（x1＋x2）2－4 x1x2＝ bb2 b2－4c 32 ∵△ABC为等边三角形，∴ －c＝ b－4c －－－－－－－ 42－－－－－－（4分） 即b2－4c＝23·b2－4c，∵b2－4c＞0，∴b2－4c＝23 ∵c＝1－b， ∴b2＋4b－16＝0， b＝－2±25，所求b值为－2±25－－－（6分） ⑵∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a＋b＋c＜0，与a＋b＋c＝2矛盾.∴a＞0．－－（7分） 442 ∵b＋c＝2－a，bc＝，∴b、c是一元二次方程x－(2－a)x＋＝b2 aa0的两实根． 4 ∴△＝（2－a）－4×≥0，∴a3－4a2＋4a－16≥0， 即（a2＋4） 2 a(a－4)≥0，故a≥4－－－（9分） ∵abc＞0，∴a、b、c为全大于０或一正二负． ①若a、b、c均大于０，∵a≥4，与a＋b＋c＝2矛盾；－－－－－－（10分） ②若a、b、c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0， 则｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＝a－b－c＝a－(2－a)＝2a－2，－－－－－－－－－－－（11分） ∵ a≥4，故2a－2≥6，当a＝4，b＝c＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立． 故｜a｜＋｜b｜＋｜c｜的最小值为6． －－－－－－－－－－（12分）
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